В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 5, AA1 = 5, AD = 3.
а) Докажите, что прямые A1B и B1D перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1D.
а) Заметим, что прямая B1A является проекцией прямой B1D на грань ABB1A1. Грань ABB1A1 — квадрат, следовательно, прямая AB1 перпендикулярна прямой A1B. Таким образом, прямая B1D перпендикулярна A1B по теореме о трёх перпендикулярах.
б) Заметим, что из п. а) следует, что прямая A1B перпендикулярна плоскости B1AD. Из точки O их пересечения опустим перпендикуляр OH на прямую B1D. Прямая OH перпендикулярна прямой A1B, поскольку лежит в плоскости B1AD. Таким образом, искомое расстояние — длина OH. Найдём её. Имеем: 
Треугольники B1HO и B1AD подобны, следовательно, 
откуда
Ответ: 
Приведем решение Александра Турбанова (Липецк).
а) Введем прямоугольную систему координат с началом в точке B, как показано на рисунке.
Скалярное произведение векторов 
и 
равно
следовательно, прямые BA1 и B1D перпендикулярны.
б) Рассмотрим плоскость α, проходящую через прямую B1D и параллельную прямой A1B. Вектор параллелен плоскости α, а значит, перпендикулярен нормали к ней. Пусть вектор нормали имеет координаты 
тогда 
откуда 
Подставим координаты точек 
решим полученную систему уравнений:
Получаем уравнение плоскости α:
Расстояние между прямыми A1B и B1D равно
