Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 530237

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 5, AA1 = 5, AD = 3.

а) Докажите, что прямые A1B и B1D перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми A1B и B1D.

Спрятать решение

Решение.

а) Заметим, что прямая B1A является проекцией прямой B1D на грань ABB1A1. Грань ABB1A1 — квадрат, следовательно, прямая AB1 перпендикулярна прямой A1B. Таким образом, прямая B1D перпендикулярна A1B по теореме о трёх перпендикулярах.

б) Заметим, что из п. а) следует, что прямая A1B перпендикулярна плоскости B1AD. Из точки O их пересечения опустим перпендикуляр OH на прямую B1D. Прямая OH перпендикулярна прямой A1B так как лежит в плоскости B1AD. Таким образом, искомое расстояние — длина OH. Найдём её. Имеем: B_1O= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби AB_1= дробь: числитель: 5 корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби ,

B_1D= корень из BB_1 в квадрате плюс AB в квадрате плюс AD в квадрате = корень из 59.

Треугольники B1HO и B1AD подобны, следовательно,  дробь: числитель: OH, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: B_1O, знаменатель: B_1D конец дроби , откуда

OH= дробь: числитель: B_1O умножить на AD, знаменатель: B_1D конец дроби = дробь: числитель: \tfrac5 корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 3 корень из 59= дробь: числитель: 15 корень из 118, знаменатель: 118 конец дроби .

Ответ:  дробь: числитель: 15 корень из 118, знаменатель: 118 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 293.