Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 627989

Дан правильный треугольник ABC. Точка D лежит вне плоскости ABC,  косинус \angle BAD = косинус \angle DAC=0,3.

а)  Докажите, что прямые AD и BC перпендикулярны.

б)  Найдите расстояние между прямыми AD и BC, если AC = 6.

Спрятать решение

Решение.

а)  Пусть H  — проекция точки D на плоскость ABC, M и N  — проекции точки H на прямые AB и AC соответственно. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах прямые DM и AB перпендикулярны, прямые DN и AC перпендикулярны. Тогда AM=AN=AD умножить на 0,3, следовательно, треугольники AMH и ANH равны, AH  — биссектриса угла BAC, а прямые AH и BC перпендикулярны. Тогда, по теореме о трёх перпендикулярах, прямые AD и BC перпендикулярны. Что и требовалось доказать.

б)  Пусть AK  — высота треугольника ABC. Тогда прямые AK и BC перпендикулярны, DH и BC перпендикулярны, и прямая BC перпендикулярна плоскости AKD. Следовательно, высота KE треугольника AKD будет искомым расстоянием. Заметим, что

 дробь: числитель: AH, знаменатель: AD конец дроби = дробь: числитель: AM, знаменатель: косинус 30 градусов умножить на AD конец дроби = дробь: числитель: 0,3 AD, знаменатель: косинус 30 градусов умножить на AD конец дроби = дробь: числитель: 3 умножить на 2, знаменатель: корень из 3 умножить на 10 конец дроби = дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 5 конец дроби = косинус \angle HAD,

 синус \angle HAD= корень из 1 минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 25 конец дроби = дробь: числитель: корень из 22, знаменатель: 5 конец дроби .

Тогда, окончательно:

KE=AK умножить на синус \angle HAD=AC умножить на дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: корень из 22, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из 66, знаменатель: 5 конец дроби .

Ответ: б)  дробь: числитель: 3 корень из 66, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Приведем решение пункта б) ffff fffffff.

Как показано в основном решении, искомым расстоянием будет высота KE треугольника AKD. Пусть AD = x, тогда по теореме косинусов из треугольника ABD получим:

DB в квадрате =AD в квадрате плюс AB в квадрате минус 2 умножить на AB умножить на AD косинус \angle BAD,

DB в квадрате =x в квадрате плюс 36 минус 3,6x.

Аналогично найдем DC = DB.

В равнобедренном треугольнике BDC найдем высоту DK:

DK в квадрате =DB в квадрате минус левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби BC правая круглая скобка в квадрате ,

DK в квадрате =27 плюс x в квадрате минус 3,6x.

В равностороннем треугольнике ABC найдем высоту AK:

AK=AB умножить на синус 60 градусов=3 корень из 3.

В треугольнике ADK найдем косинус угла DAK:

DK в квадрате =AD в квадрате плюс AK в квадрате минус 2 умножить на AD умножить на AK косинус \angle DAK,

27 плюс x в квадрате плюс 3,6x=x в квадрате плюс 27 минус 6 корень из 3x косинус \angle DAK равносильно косинус \angle DAK= дробь: числитель: корень из 3, знаменатель: 5 конец дроби .

Тогда  синус \angle DAK= дробь: числитель: корень из 22, знаменатель: 5 конец дроби . Следовательно, KE=AK синус \angle DAK = 3 корень из 3 умножить на дробь: числитель: корень из 22, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: 3 корень из 66, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 627989: 628006 Все

Источник: ЕГЭ по математике 28.03.2022. Досрочная волна. Москва. Вариант 1, Задания 13 ЕГЭ–2022