а)  Пусть H  — про­ек­ция точки D на плос­кость ABC, M и N  — про­ек­ции точки H на пря­мые AB и AC со­от­вет­ствен­но. Тогда по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые DM и AB пер­пен­ди­ку­ляр­ны, пря­мые DN и AC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда сле­до­ва­тель­но, тре­уголь­ни­ки AMH и ANH равны, AH  — бис­сек­три­са угла BAC, а пря­мые AH и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Тогда, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах, пря­мые AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  Пусть AK  — вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC. Тогда пря­мые AK и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, DH и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны, и пря­мая BC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти AKD. Сле­до­ва­тель­но, вы­со­та KE тре­уголь­ни­ка AKD будет ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем. За­ме­тим, что

Тогда, окон­ча­тель­но:

Ответ: б)

При­ве­дем ре­ше­ние пунк­та б) ffff fffffff.

Как по­ка­за­но в ос­нов­ном ре­ше­нии, ис­ко­мым рас­сто­я­ни­ем будет вы­со­та KE тре­уголь­ни­ка AKD. Пусть AD  =  x, тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов из тре­уголь­ни­ка ABD по­лу­чим:

Ана­ло­гич­но най­дем DC  =  DB.

В рав­но­бед­рен­ном тре­уголь­ни­ке BDC най­дем вы­со­ту DK:

В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC най­дем вы­со­ту AK:

В тре­уголь­ни­ке ADK най­дем ко­си­нус угла DAK:

Тогда Сле­до­ва­тель­но,