Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 562492
i

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA1B1C1 лежит тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  BC, AC=4 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . На ребре BB1 вы­бра­на точка K так, что BK : B1K  =  2 : 3. Угол между плос­ко­стя­ми ABC и AKC равен 45°.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A1C1 равно бо­ко­во­му ребру приз­мы.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A1C1, если KC  =  8.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пря­мые AB и A1C1  — скре­щи­ва­ю­щи­е­ся и лежат в па­рал­лель­ных ос­но­ва­ни­ях приз­мы. По­это­му рас­сто­я­ние между этими пря­мы­ми равно рас­сто­я­нию между ос­но­ва­ни­я­ми, то есть бо­ко­во­му ребру приз­мы.

б)  Про­ведём BM  — вы­со­ту рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ABC, яв­ля­ю­щу­ю­ся также ме­ди­а­ной. Пря­мая KM  — на­клон­ная, по тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах пря­мые KM и AC вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Таким об­ра­зом, угол KMB  — ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла между плос­ко­стя­ми ABC и AKC и, сле­до­ва­тель­но, равен 45°, а тре­уголь­ник KMB  — пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. Тогда

CM= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби AC=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ,

KM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KC в квад­ра­те минус CM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

Далее, по­сколь­ку KB=BM, на­хо­дим:

KB в квад­ра­те плюс BM в квад­ра­те =KM в квад­ра­те рав­но­силь­но KB=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та ,

BB_1= дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби KB=5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Ответ: б) 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах
Классификатор стереометрии: Де­ле­ние от­рез­ка, Пря­мая приз­ма, Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025