СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 517563

Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Грань ACC1A1 является квадратом.

а) Докажите, что прямые CA1 и AB1 перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми CA1 и AB1, если AC = 4, BC = 7.

Решение.

а) Заметим, что как катеты прямоугольного треугольника, и , поскольку призма прямая. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости . Кроме того, как диагонали квадрата.

Имеем: − наклонная, − проекция на плоскость , − прямая в плоскости , перпендикулярная проекции. Тогда по теореме о трёх перпендикулярах что и требовалось доказать.

б) Пусть M − середина AC1. Тогда искомое расстояние равно расстоянию от точки M до прямой AB1, поскольку прямая A1C перпендикулярна AB1C1. Это расстояние равно половине высоты прямоугольного треугольника AB1C1, проведённой к гипотенузе:

Ответ:б)

Источник: За­да­ния 14 (C2) ЕГЭ 2017
Методы геометрии: Теорема о трёх перпендикулярах
Классификатор стереометрии: Перпендикулярность прямых, Правильная треугольная призма, Расстояние между скрещивающимися прямыми
Спрятать решение · ·
peresl 27.01.2019 20:54

Здравствуйте. В решении нельзя применить теорему о трех перпендикулярах, так как прямая А1С не проходит через основание наклонной АВ1 точку А.

Служба поддержки

Разные формулировки есть.