В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD про­ве­де­на вы­со­та SH. K  — се­ре­ди­на ребра SD, N  — се­ре­ди­на ребра CD. Плос­кость ABK пе­ре­се­ка­ет ребро SC в точке P.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая PK делит от­ре­зок NS по­по­лам.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки P до плос­ко­сти ABS, если SH = 15, CD = 16.

В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AD  =  14, вы­со­та SH  =  24. Точка P  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SD, а точка N  — се­ре­ди­на ребра CD. Плос­кость ABP пе­ре­се­ка­ет бо­ко­вое ребро SC в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая KP пе­ре­се­ка­ет от­ре­зок SN в его се­ре­ди­не.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки K до плос­ко­сти ABS.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC, сто­ро­на ос­но­ва­ния AB  =  16, вы­со­та SH  =  10, точка K  — се­ре­ди­на AS. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точку K и па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, пе­ре­се­ка­ет ребра SB и SC в точ­ках Q и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пло­щадь PQBС от­но­сит­ся к пло­ща­ди как 3 : 4.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды KBQPC.

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC, AB  =  24, вы­со­та SH, про­ведённая к ос­но­ва­нию, равна 14, точка K  — се­ре­ди­на AS, точка N  — се­ре­ди­на BC. Плос­кость, про­хо­дя­щая через точку K и па­рал­лель­ная ос­но­ва­нию пи­ра­ми­ды, пе­ре­се­ка­ет ребра SB и SC в точ­ках Q и P со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что PQ про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка SN.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью ос­но­ва­ния и плос­ко­стью APQ.

В ос­но­ва­нии тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Ос­но­ва­ние вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что SA  =  SC.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SAC и ABC, если AC  =  16, AB  =  20, SA  =  26.

В ос­но­ва­нии тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABC лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C. Ос­но­ва­ние вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра AB.

а)  До­ка­жи­те, что SA  =  SC.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми SAC и ABC, если AB  =  30, SC  =  17, СB  =  24.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник ABC. На пря­мой AA₁ от­ме­че­на точка D так, что A₁  — се­ре­ди­на AD. На пря­мой B₁C₁ от­ме­че­на точка E так, что C₁  — се­ре­ди­на B₁E.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁B₁ и DE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и DE, если AB  =  4, а AA₁  =  1.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник ABC. На пря­мой AA₁ от­ме­че­на точка D так, что A₁  — се­ре­ди­на AD. На пря­мой B₁C₁ от­ме­че­на точка E так, что C₁  — се­ре­ди­на B₁E.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые A₁B₁ и DE пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и DE, если AB = 3, а AA₁ = 1.

Точка E лежит на вы­со­те SO, а точка F  — на бо­ко­вом ребре SC пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, причём SE : EO  =  SF : FC  =  2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость BEF пе­ре­се­ка­ет ребро SD в его се­ре­ди­не.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью BEF, если AB  =  8, SO  =  14.