а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит тре­уголь­ник ABC со сто­ро­на­ми AB  =  BC, На ребре BB₁ вы­бра­на точка K так, что BK : B₁K  =  2 : 3. Угол между плос­ко­стя­ми ABC и AKC равен 45°.

а)  До­ка­жи­те, что рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁ равно бо­ко­во­му ребру приз­мы.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AB и A₁C₁, если KC  =  8.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Точки D и E  — се­ре­ди­ны сто­рон AC и BC тре­уголь­ни­ка ABC со­от­вет­ствен­но. На от­рез­ке DE как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность, пе­ре­се­ка­ю­щая про­дол­же­ния сто­рон AC и BC в точ­ках M и N со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что бис­сек­три­сы углов MEN и NDM пе­ре­се­ка­ют­ся на этой окруж­но­сти.

б)  Най­ди­те MN, если из­вест­но, что AB  =  14, BC  =  10, AC  =  6.

В рас­по­ря­же­нии про­ра­ба име­ет­ся бри­га­да ра­бо­чих в со­ста­ве 28 че­ло­век. Их нужно рас­пре­де­лить на стро­и­тель­ство двух част­ных домов, на­хо­дя­щих­ся в раз­ных го­ро­дах. Если на стро­и­тель­стве пер­во­го дома ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет 5t² д. е. Если на стро­и­тель­стве вто­ро­го дома ра­бо­та­ет t че­ло­век, то их су­точ­ная зар­пла­та со­став­ля­ет 3t² д. е. До­пол­ни­тель­ные су­точ­ные на­клад­ные рас­хо­ды (транс­порт, пи­та­ние и т. п.) об­хо­дят­ся в 4 д. е. в расчёте на од­но­го ра­бо­че­го при стро­и­тель­стве пер­во­го дома и в 3 д. е. при стро­и­тель­стве вто­ро­го дома. Как нужно рас­пре­де­лить на эти объ­ек­ты ра­бо­чих бри­га­ды, чтобы все вы­пла­ты на их су­точ­ное со­дер­жа­ние (т. е. су­точ­ная зар­пла­та и су­точ­ные на­клад­ные рас­хо­ды) ока­за­лись наи­мень­ши­ми? Сколь­ко д. е. в сумме при таком рас­пре­де­ле­нии со­ста­вят все су­точ­ные за­тра­ты (на зар­пла­ту и на­клад­ные рас­хо­ды)?

При каких x для лю­бо­го y су­ще­ству­ет z такое, что

Из­вест­но, что квад­рат­ное урав­не­ние x² + px + q  =  0 имеет два раз­лич­ных на­ту­раль­ных корня.

а)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния p, если q  =  26.

б)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния q, если q + p  =  72.

в)  Най­ди­те все воз­мож­ные зна­че­ния кор­ней урав­не­ния, если q² − p²  =  2812.