СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 526340

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания AB равна 4, а боковое ребро SA = 8. На рёбрах CD и SC отмечены точки N и K соответственно, причём DN : NC = SK : KC = 1 : 3. Плоскость α содержит прямую KN и параллельна прямой BC.

а) Докажите, что плоскость α делит ребро AB в отношении 1 : 3, считая от вершины A.

б) Найдите расстояние между прямыми SA и KN.

Решение.

а) Пусть плоскость α пересекает сторону основания АВ в точке М. Поскольку плоскость α параллельна прямой ВС, она параллельна и прямой AD, а значит, прямые NM и AD параллельны. Тогда четырёхугольник DNMA — прямоугольник, поэтому точка М делит сторону АВ в том же отношении, что точка N делит сторону DC.

б) Заметим, что прямые KN и SD параллельны, поскольку отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Тем самым, в плоскости α лежат две пересекающиеся прямые KN и NM, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым SD и DA плоскости SDA. Тогда по признаку параллельности плоскостей плоскости α и SDA параллельны. Следовательно, расстояние между скрещивающимися прямыми SA и KN можно найти как расстояние между параллельными прямыми, лежащими в плоскостях SDA и α.

Пусть Р — середина AD, H — середина ВС. Построим треугольник SPH и пусть прямая HT перпендикулярна прямой SP, R — точка пересечения KL и SH, а QR — отрезок, соединяющий середину KL и середину MN. Тогда прямые SP и QR —параллельны, а расстояние между пересекающимися прямыми SA и KN равно расстоянию между параллельными прямыми QR и SP.

Заметим, что угол PAB — прямой, поэтому ABHP — прямоугольник, В треугольнике SAP длина Аналогично Пусть тогда применяя теорему Пифагора из треугольников SHT и PHT, получаем:

Тогда

По условию, поэтому а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении, считая от точки T. Следовательно, расстояние между SP и QR есть четвёрть высоты HT:

 

Ответ: б)


Аналоги к заданию № 526340: 526536 Все

Источник: Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Вариант 405, За­да­ния 14 (С2) ЕГЭ 2019
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная четырёхугольная пирамида, Расстояние между скрещивающимися прямыми, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой