а)  Пусть плос­кость α пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну ос­но­ва­ния АВ в точке М. По­сколь­ку плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой ВС, она па­рал­лель­на и пря­мой AD, а зна­чит, пря­мые NM и AD па­рал­лель­ны. Тогда четырёхуголь­ник DNMA  — пря­мо­уголь­ник, по­это­му точка М делит сто­ро­ну АВ в том же от­но­ше­нии, что точка N делит сто­ро­ну DC.

б)  За­ме­тим, что пря­мые KN и SD па­рал­лель­ны, по­сколь­ку от­се­ка­ют на сто­ро­нах угла про­пор­ци­о­наль­ные от­рез­ки. Таким об­ра­зом, в плос­ко­сти α лежат две пе­ре­се­ка­ю­щи­е­ся пря­мые KN и NM, со­от­вет­ствен­но па­рал­лель­ные двум пе­ре­се­ка­ю­щим­ся пря­мым SD и DA плос­ко­сти SDA. Тогда по при­зна­ку па­рал­лель­но­сти плос­ко­стей плос­ко­сти α и SDA па­рал­лель­ны. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми SA и KN можно найти как рас­сто­я­ние между этими па­рал­лель­ны­ми плос­ко­стя­ми.

Пусть Р  — се­ре­ди­на AD, H  — се­ре­ди­на ВС. По­стро­им тре­уголь­ник SPH и пусть пря­мая HT пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой SP. Кроме того, HT пер­пен­ди­ку­ляр­на AD и, сле­до­ва­тель­но, плос­ко­сти SDA, а вме­сте с ней α. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро SB в точке L, при­чем, KL || BC. R  — точка пе­ре­се­че­ния KL и SH, таким об­ра­зом, QR  — от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ну KL и се­ре­ди­ну MN. Тогда пря­мые SP и QR  — па­рал­лель­ны, а рас­сто­я­ние между ними равно ис­ко­мо­му рас­сто­я­нию между плос­ко­стя­ми SDA и α.

За­ме­тим, что PH  =  AB  =  4. В тре­уголь­ни­ке SAP: Пусть тогда при­ме­няя тео­ре­му Пи­фа­го­ра из тре­уголь­ни­ков SHT и PHT, по­лу­ча­ем:

Тогда

По усло­вию, по­это­му а тогда плос­кость се­че­ния делит вы­со­ту HT в том же от­но­ше­нии, счи­тая от точки T. Сле­до­ва­тель­но, рас­сто­я­ние между SP и QR есть чет­верть вы­со­ты HT:

Ответ: б)

При­ме­ча­ние.

Вы­со­та HT рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка SPH может быть най­де­на проще. Вы­со­та этого тре­уголь­ни­ка про­ве­ден­ная к ос­но­ва­нию PH есть вы­со­та пи­ра­ми­ды, со­еди­ня­ю­щая вер­ши­ну с цен­тром ос­но­ва­ния, зна­чит, Тогда