В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA ― 
Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.
а) Докажите, что плоскость α делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2 : 1, считая от вершины P.
б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.
а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке M. Так как 
и 
то 
Поскольку 
то AK ― высота и медиана правильного треугольника PAC. Следовательно, M ― точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем PM : MH = 2 : 1.
б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC. Так как KL || PH и PK = KC, то 
и L ― середина CH. Отрезок BL ― проекция отрезка BK на плоскость ABC. Поскольку 
точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и BK равно расстоянию от точки H до прямой BL, то есть высоте h треугольника BHL проведенной из вершины H.
Далее имеем:
Ответ: б) 
