Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 519515

В правильной четырёхугольной пирамиде PABCD сторона основания ABCD равна 12, боковое ребро PA 12 корень из { 2}. Через вершину A проведена плоскость α, перпендикулярная прямой PC и пересекающая ребро PC в точке K.

а) Докажите, что плоскость α делит высоту PH пирамиды PABCD в отношении 2 : 1, считая от вершины P.

б) Найдите расстояние между прямыми PH и BK.

Решение.

а) Пусть прямая AK пересекает прямую PH в точке M. Так как PC\bot \alpha и AK\subset \alpha, то PC\bot AK. Поскольку AC=AB корень из { 2}=12 корень из { 2}=AP, то AK ― высота и медиана правильного треугольника PAC. Следовательно, M ― точка пересечения медиан этого треугольника, откуда и получаем PM : MH = 2 : 1.

б) Пусть точка L ― проекция точки K на плоскость ABC. Так как KL || PH и PK = KC, то L принадлежит AC и L ― середина CH. Отрезок BL ― проекция отрезка BK на плоскость ABC. Поскольку (ABC)\bot PH, точка H ― проекция прямой PH на плоскость ABC. Значит, расстояние между прямыми PH и BK равно расстоянию от точки H до прямой BL, то есть высоте h треугольника BHL проведенной из вершины H.

Далее имеем:

BH= дробь, числитель — BD, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 12 корень из { 2}, знаменатель — 2 =6 корень из { 2}, LH= дробь, числитель — AC, знаменатель — 4 = дробь, числитель — 12 корень из { 2}, знаменатель — 4 =3 корень из { 2}, BL= корень из { BH в степени 2 плюс LH в степени 2 }=3 корень из { 10},

h= дробь, числитель — 2S_{\Delta BHL}, знаменатель — BL = дробь, числитель — BH умножить на LH, знаменатель — BL = дробь, числитель — 6 корень из { 10}, знаменатель — 5 .

Ответ: б)  дробь, числитель — 6 корень из { 10}, знаменатель — 5 .


Аналоги к заданию № 519515: 519541 Все

Источник: Пробный ЕГЭ по математике, Санкт-Петербург, 04.03.2018. Вариант 1.
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Правильная четырёхугольная пирамида, Расстояние между скрещивающимися прямыми, Сечение, параллельное или перпендикулярное прямой