Дана пи­ра­ми­да SABC, в ко­то­рой

а)  До­ка­жи­те, что ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между реб­ра­ми BC и SA.

Дана пи­ра­ми­да SABC, в ко­то­рой

а)  До­ка­жи­те, что ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между реб­ра­ми BC и SA.

Дана пи­ра­ми­да SABC, в ко­то­рой

а)  До­ка­жи­те, что ребро SA пер­пен­ди­ку­ляр­но ребру BC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC.

В пи­ра­ми­де SABC из­вест­ны длины рёбер:

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая SA пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой BC.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой SA и плос­ко­стью SBC.

В ко­ну­се с вер­ши­ной S и цен­тром ос­но­ва­ния O ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен 13, а вы­со­та равна Точки A и B  — концы об­ра­зу­ю­щих, M  — се­ре­ди­на SA, N  — точка в плос­ко­сти ос­но­ва­ния такая, что пря­мая MN па­рал­лель­на пря­мой SB.

а)  До­ка­жи­те что ANO  — пря­мой угол.

б)  Най­ди­те угол между MB и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, если до­пол­ни­тель­но из­вест­но что AB  =  10.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка P  — делит сто­ро­ну AB в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны A, точка K  — делит сто­ро­ну BC в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны C. Через точки P и K па­рал­лель­но SB про­ве­де­на плос­кость

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки S до плос­ко­сти если из­вест­но, что

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC точка K  — делит сто­ро­ну SC в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны S, точка N  — делит сто­ро­ну SB в от­но­ше­нии счи­тая от вер­ши­ны S. Через точки N и K па­рал­лель­но SA про­ве­де­на плос­кость

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды плос­ко­стью па­рал­лель­но пря­мой BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти если из­вест­но, что

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 9, а бо­ко­вое ребро SA  =  6. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём AK : KB  =  SM : MC  =  2 : 7. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на пря­мой SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро SB в от­но­ше­нии 2 : 7, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KM.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния а бо­ко­вое ребро На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём Плос­кость со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит ребро AC в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KM.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния а бо­ко­вое ребро На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём Плос­кость со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на SA.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость делит ребро AC в от­но­ше­нии 1 : 4, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KM.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 4, а бо­ко­вое ребро SA  =  8. На рёбрах CD и SC от­ме­че­ны точки N и K со­от­вет­ствен­но, причём DN : NC  =  SK : KC  =  1 : 3. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KN и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AB в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны A.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KN.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 8, а бо­ко­во­ве ребро SA равно 10. На рёбрах CD и SC от­ме­че­ны точки N и K со­от­вет­ствен­но, причём Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KN и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро SB в от­но­ше­нии 1 : 7, счи­тая от вер­ши­ны S.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми SA и KN.

В пра­виль­ном тет­ра­эд­ре ABCD точки K и M  — се­ре­ди­ны рёбер AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на пря­мой AD.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние тет­ра­эд­ра плос­ко­стью α   — квад­рат.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра ABCD плос­ко­стью α, если

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ рёбра равны 1. На про­дол­же­нии от­рез­ка A₁C₁ за точку C₁ от­ме­че­на точка M так, что A₁C₁  =  C₁M, а на про­дол­же­нии от­рез­ка B₁C за точку C от­ме­че­на точка N так, что B₁C  =  CN.

а)  До­ка­жи­те, что MN  =  MB₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми B₁C₁ и MN.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 4, а бо­ко­вое ребро равно 2. Точка M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁, а точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей бо­ко­вой грани ABB₁A₁.

а)  До­ка­жи­те, что точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей четырёхуголь­ни­ка, яв­ля­ю­ще­го­ся се­че­ни­ем приз­мы  ABCA₁B₁C₁ плос­ко­стью AMB, лежит на от­рез­ке OC₁.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой OC₁, и плос­ко­стью AMB.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S и цен­тром ос­но­ва­ния O равен 5, а его вы­со­та равна Точка M  — се­ре­ди­на об­ра­зу­ю­щей SA ко­ну­са, а точки N и B лежат на ос­но­ва­нии ко­ну­са, причём пря­мая MN па­рал­лель­на об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са SB.

а)  До­ка­жи­те что   — пря­мой.

б)  Най­ди­те угол между пря­мой BM и плос­ко­стью ос­но­ва­ния ко­ну­са, если AB  =  8.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 5. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём AK : KB  =  SM : MC  =  5 : 1. Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на SA.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α   — пря­мо­уголь­ник.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­ной ко­то­рой яв­ля­ет­ся точка A, а ос­но­ва­ни­ем  — се­че­ние пи­ра­ми­ды SABC плос­ко­стью α.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де SABC сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6, а бо­ко­вое ребро SA равно 7. На рёбрах AB и SC от­ме­че­ны точки K и M со­от­вет­ствен­но, причём Плос­кость α со­дер­жит пря­мую KM и па­рал­лель­на пря­мой BC.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α па­рал­лель­на пря­мой SA.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми α и SBC.