Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 560934
i

Ос­но­ва­ни­ем пи­ра­ми­ды АВСD яв­ля­ет­ся рав­но­сто­рон­ний тре­уголь­ник АВС, длина сто­ро­ны ко­то­ро­го равна 4. Бо­ко­вое ребро CD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния и имеет длину ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та . Пусть М  — се­ре­ди­на ребра ВС, а N  — се­ре­ди­на ребра АВ.

А)  До­ка­жи­те, что угол между пря­мы­ми DM и СN равен 45°.

Б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми DM и СN.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Через точку M про­ведём от­ре­зок MK па­рал­лель­но пря­мой CN. Ис­ко­мый угол равен углу между пря­мы­ми DM и MK. Найдём угол DMK из тре­уголь­ни­ка DMK. Имеем CN=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , а MK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та как сред­няя линия тре­уголь­ни­ка BCN. Далее, имеем:

DN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CD в квад­ра­те плюс CN в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс 12 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та ,

DK= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: DN в квад­ра­те плюс NK в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 плюс 1 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 15 конец ар­гу­мен­та ,

DM= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: CD в квад­ра­те плюс CM в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 плюс 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та .

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка DMK имеем:

DK в квад­ра­те =DM в квад­ра­те плюс MK в квад­ра­те минус 2DM умно­жить на MK умно­жить на ко­си­нус \angle DMK рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 15=6 плюс 3 минус 2 умно­жить на 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус \angle DMK рав­но­силь­но

рав­но­силь­но 6= минус 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус \angle DMK рав­но­силь­но ко­си­нус \angle DMK= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но \angle DMK=135 гра­ду­сов.

Таким об­ра­зом, угол между пря­мы­ми DM и MK равен 45°.

б)  Плос­кость DMK со­дер­жит пря­мую DM и па­рал­лель­на пря­мой CN (со­дер­жит от­ре­зок MK па­рал­лель­ный пря­мой CN). Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние между скре­щи­ва­ю­щи­ми­ся пря­мы­ми DM и CN равно рас­сто­я­нию от пря­мой CN до плос­ко­сти DMK, ко­то­рое, в свою оче­редь, равно рас­сто­я­нию до плос­ко­сти DMK от точки C, то есть вы­со­те hc пи­ра­ми­ды DCMK, опу­щен­ной из точки C. Тогда имеем:

S_CMK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби S_CKB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби S_CNB= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби S_ABC= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на CN умно­жить на AB= дробь: чис­ли­тель: 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 4, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

V_DCMK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на S_CMK умно­жить на CD= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби ,

S_DMK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на DM умно­жить на MK умно­жить на синус \angle DMK= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,

h_c= дробь: чис­ли­тель: 3V_DCMK, зна­ме­на­тель: S_DMK конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на \tfrac ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби \tfrac32= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 6 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та a) и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а) и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а)

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 346
Методы геометрии: Метод объ­е­мов, Тео­ре­ма ко­си­ну­сов
Классификатор стереометрии: Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми, Тре­уголь­ная пи­ра­ми­да, Угол между пря­мы­ми
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025