В кубе ABCDA1B1C1D1 точка O1 — центр квадрата ABCD, точка O2 — центр квадрата CC1D1D.
а) Докажите, что прямые A1O1 и B1O2 скрещиваются.
б) Найдите расстояние между прямыми A1O1 и B1O2, если ребро куба равно 1.
а) Заметим, что прямая A1O1 лежит в плоскости ACA1C1, при этом точки B1 и O2 не лежат в этой плоскости, то есть прямая B1O2 не лежит в плоскости ACC1A1 и не параллельна ей (B1 и O2 лежат в разных полупространствах относительно этой плоскости). Следовательно, прямая B1O2 пересекает плоскость ACC1A1. Покажем, что точка их пересечения не лежит на прямой A1O1, из этого будет следовать, что прямые A1O1 и B1O2 — скрещивающиеся.
Действительно, прямая B1O2 лежит в плоскости СB1D1, пересекающейся с плоскостью ACA1C1 по прямой CO3, где О3 — точка пересечения B1D1 с A1C1. Следовательно, прямая B1O2 пересекает плоскость ACA1C1 в точке, лежащей на прямой CO3. Прямая CO3 не имеет общих точек с прямой А1O1, поскольку параллельна ей. Таким образом, прямая B1O2 пересекает плоскость, в которой лежит прямая А1O1 в точке, не лежащей на А1O1. Требуемое доказано.
б) Введём систему координат с центром в точке A1 так, что ось абсцисс направлена вдоль A1D1, ось ординат — вдоль A1B1, ось аппликат — вдоль A1A (см. рис.). В этой системе координат: A1(0; 0; 0), 
B1(0; 1; 0), 
Пусть вектор
с концами на прямых O1A1 и B1O2 перпендикулярен обеим этим прямым. Тогда длина MN равна расстоянию между ними. Запишем условия перпендикулярности в виде 
и 
Имеем:
Итак,
Тогда
Ответ: 
Примечание.
Укажем идею решения пункта а) методом координат, примененным при решении пункта б). Примем ребро куба за 1 (или за а), введем систему координат, найдем координаты точек А1, В1, О1 и О2, найдем уравнение плоскости А1В1О1, подставим в это уравнение координаты точки О2 и убедимся, что эта точка не лежит в данной плоскости.
Приведем решение пункта б) Андрея Белобородова без использования координат.
Рассмотрим плоскость СB1D1. Эта плоскость проходит через прямую B1O2 и параллельна прямой A1O1, поскольку прямая A1O1 параллельна прямой CO3, лежащей в этой плоскости. Следовательно, искомое расстояние между скрещивающимися прямыми B1O2 и A1O1 равно расстоянию от любой из точек прямой A1O1 до плоскости СB1D1.
Проведем в треугольнике O3O1C высоту O1M. Заметим, что O1M перпендикулярна B1D1, поскольку ее проекция O3С1 перпендикулярна B1D1. Таким образом, O1M перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости СB1D1, следовательно, она перпендикулярна этой плоскости, и O1M — искомое расстояние.
Здорово, что вы показываете метод координат, но можно найти расстояние между прямыми, исходя из данных, полученных в пункте а).
Прямая СО3 параллельна А1О1. (При этом В1О2 лежит в одной плоскости с СО3). Следовательно, расстояние между параллельным прямыми А1О1 и СО3 будет искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми. Пусть Н середина А1С1. Рассмотрим треугольник А1НО1 и найдём высоту, проведённую из точки Н к стороне А1О1.
Правильно понимаем, что у вас точки O3 и Н совпадают?
Расстояние между скрещивающимися прямыми можно найти как расстояние от одной из них до плоскости, в которой лежит другая. Но в вашем решении ищется расстояние от одной из скрещивающихся прямых до некоторой параллельной ей прямой, лежащей в одной плоскости с другой из скрещивающихся прямых. Это разные расстояния.