СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 530383

В кубе ABCDA1B1C1D1 точка O1 — центр квадрата ABCD, точка O2 — центр квадрата CC1D1D.

а) Докажите, что прямые A1O1 и B1O2 скрещиваются.

б) Найдите расстояние между прямыми A1O1 и B1O2 , если ребро куба равно 1.

Решение.

а) Заметим, что прямая A1O1 лежит в плоскости ACA1C1, при этом точки B1 и O2 не лежат в этой плоскости, то есть прямая B1O2 не лежит в плоскости ACC1A1 и не параллельна ей (B1 и O2 лежат в разных полупространствах относительно этой плоскости), следовательно, прямая B1O2 пересекает плоскость ACC1A1, а прямые A1O1 и B1O2 — скрещивающиеся.

б) Введём систему координат с центром в точке A1 так, что ось абсцисс направлена вдоль A1D1, ось ординат — вдоль A1B1, ось аппликат — вдоль A1A (см. рис.). В этой системе координат: A1(0; 0; 0), B1(0; 1; 0), Пусть вектор

с концами на прямых O1A1 и B1O2 перпендикулярен обеим этим прямым. Тогда длина MN равна расстоянию между ними. Запишем условия перпендикулярности в виде и Имеем:

Итак,

Тогда

Ответ:

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 294.