В основании прямой призмы ABCA1B1C1 лежит прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Точка M — середина ребра B1C1, точка N лежит на ребре AC, причем AN : NC = 15 : 1. Катет AC в четыре раза больше бокового ребра AA1 призмы.
а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна прямой CA1.
б) Найдите расстояние между прямыми MN и CA1, если AC = 16, 
а) Рассмотрим треугольник 
в нём 
следовательно,
а потому острые углы 
и 
равны. Прямые 
и AC взаимно перпендикулярны. Тогда прямая 
перпендикулярна прямой 
при этом прямая — проекция прямой MN на грань 
(прямая 
перпендикулярна прямой 
а прямая перпендикулярна прямой ). Таким образом, по теореме о трёх перпендикулярах прямая MN перпендикулярна прямой 
б) Из п. а) следует, что плоскость 
перпендикулярна прямой Пусть K — точка пересечения 
и Расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию между их проекциями на плоскость перпендикулярную одной из них.
Таким образом, искомое расстояние есть расстояние от точки K до прямой MN. Из точки K на MN опустим перпендикуляр KH и найдём его из треугольника 
Имеем:
Треугольник CNK подобен треугольнику 
треугольник KNH подобен треугольнику C1MN, следовательно,
Ответ: б) 