Дан тет­ра­эдр ABCD, на реб­рах AC, AD, BD, BC от­ме­че­ны точки K, L, M, N со­от­вет­ствен­но так, что а KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до КLМ, если из­вест­но, что объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 50.

Дан тет­ра­эдр ABCD. Точки K, L, M, N лежат на реб­рах AC, AD, DB и BC со­от­вет­ствен­но, так, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 2, AK : KC  =  2 : 3.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти KLМN, если из­вест­но, что объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 25.

Дан тет­ра­эдр ABCD. На ребре AC вы­бра­на точка K так, что Также на реб­рах AD, BD и BC вы­бра­ны точки L, M и N со­от­вет­ствен­но так, что KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 3.

а)  До­ка­жи­те, что ребра AB и CD вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти KLMN, если объем тет­ра­эд­ра ABCD равен 100.

На рёбрах AC, AD, BD и BC тет­ра­эд­ра ABCD от­ме­че­ны точки K, L, M и N со­от­вет­ствен­но, причём Четырёхуголь­ник KLMN  — квад­рат со сто­ро­ной 2.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AB и CD пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от вер­ши­ны B до плос­ко­сти KLM, если объём тет­ра­эд­ра ABCD равен 25.

Дан тет­ра­эдр ABCD. Точки K, L, M и N лежат на реб­рах AC, AD, DB и BC со­от­вет­ствен­но, так, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — квад­рат, и AK : KC  =  3 : 7.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CKLMN, если объём тет­ра­эд­ра ABCD равен 100.

На рёбрах AC, AD, BD и BC тет­ра­эд­ра ABCD от­ме­че­ны точки K, L, M и N со­от­вет­ствен­но, причём Четырёхуголь­ник KLMN квад­рат.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды CKMN, если объём тет­ра­эд­ра ABCD равен 25.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. На бо­ко­вых рёбрах SA, SC и SD от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но так, что SK : KA  =  SL : LC  =  2 : 1 и SM  =  MD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KML со­дер­жит точку B.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BAKMD, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 18, а вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD равна 7.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. На бо­ко­вых рёбрах SA, SC и SD от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но так, что SK : KA  =  SL : LC  =  2 : 1 и SM  =  MD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KML со­дер­жит точку B.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BAKMD, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 21, а вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD равна 12.

В четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD длины всех бо­ко­вых ребер равны длине ребра AD, а длина каж­до­го из рёбер AB, BC и CD ровно в два раза мень­ше, чем длина ребра AD.

а)  До­ка­жи­те, что вы­со­та пи­ра­ми­ды про­хо­дит через се­ре­ди­ну ребра AD.

б)  Най­ди­те, в каком от­но­ше­нии плос­кость BMN делит вы­со­ту пи­ра­ми­ды, счи­тая от вер­ши­ны S, если точка M  — се­ре­ди­на ребра SD, а точка N делит ребро SC в от­но­ше­нии

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб ABCD со сто­ро­ной 10. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и SB.

Дана пря­мая приз­ма ABCA₁B₁C₁. ABC  — рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник с ос­но­ва­ни­ем AB. На AB от­ме­че­на точка P такая, что AP : PB  =  3 : 1. Точка Q делит по­по­лам ребро B₁C₁. Точка M делит по­по­лам ребро BC. Через точку M про­ве­де­на плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ная PQ.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AB па­рал­лель­на плос­ко­сти α.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость α делит от­ре­зок PQ, если AA₁  =  5, AB  =  12 и

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит рав­но­бед­рен­ный тре­уголь­ник ABC с ос­но­ва­ни­ем AB. Точка P делит ребро AB в от­но­ше­нии а точка Q  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Через се­ре­ди­ну M ребра BC про­ве­ли плос­кость α, пер­пен­ди­ку­ляр­ную от­рез­ку PQ.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α делит ребро AC по­по­лам.

б)  Най­ди­те от­но­ше­ние, в ко­то­ром плос­кость α де­лить от­ре­зок A₁C₁, счи­тая от точки A₁, если из­вест­но, что и

Дана пря­мая приз­ма, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми AD  =  5 и BC  =  4. Точка M делит ребро A₁D₁ в от­но­ше­нии точка K  — се­ре­ди­на ребра DD₁.

a)  До­ка­зать, что плос­кость MCK па­рал­лель­на пря­мой BD.

б)  Найти тан­генс угла между плос­ко­стью MKC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, если a

Дана пря­мая приз­ма, в ос­но­ва­нии ко­то­рой рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми AD  =  5 и BC  =  3. Точка M делит ребро A₁D₁ в от­но­ше­нии точка K  — се­ре­ди­на DD₁.

a)  До­ка­зать, что плос­кость MCK па­рал­лель­на сто­ро­не BD.

б)  Найти тан­генс угла между плос­ко­стью MKC и плос­ко­стью ос­но­ва­ния, если a

Дана пря­мая приз­ма, в ос­но­ва­нии ко­то­рой рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми AD  =  5 и BC  =  4. Точка M делит ребро A₁D₁ в от­но­ше­нии точка K  — се­ре­ди­на DD₁.

a)  До­ка­жи­те, что плос­кость MCK делит от­ре­зок BB₁ по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MKC, если a

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD  =  3 и BC  =  2. Точка M делит ребро A₁D₁ в от­но­ше­нии а точка K  — се­ре­ди­на ребра DD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKC делит от­ре­зок по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MKC, если и

В ос­но­ва­нии пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ лежит рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция ABCD с ос­но­ва­ни­я­ми AD  =  5 и BC  =  3. Точка M делит ребро A₁D₁ в от­но­ше­нии а точка K  — се­ре­ди­на ребра DD₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MKC делит от­ре­зок BB₁ по­по­лам.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью МKC, если и

Ос­но­ва­ни­ем пря­мой приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ яв­ля­ет­ся па­рал­ле­ло­грамм. На рёбрах A₁B₁, B₁C₁ и BC от­ме­че­ны точки M, K и N со­от­вет­ствен­но, при­чем а AMKN  — рав­но­бед­рен­ная тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми 2 и 3.

a)  До­ка­жи­те, что N  — се­ре­ди­на BC.

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции AMKN, если объем приз­мы ABCDA₁B₁C₁D₁ равен 12, а ее вы­со­та равна 2.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BB₁, а точка N  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Плос­кость α, па­рал­лель­ная пря­мым AM и B₁N, про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка B₁M.

a)  До­ка­жи­те, что плос­кость α про­хо­дит через се­ре­ди­ну от­рез­ка B₁C₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы ABCA₁B₁C₁плос­ко­стью α, если все ребра этой приз­мы равны 4.

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит пря­мо­уголь­ник ABCD. На реб­рах SA, SB, SC и SD от­ме­че­ны точки L, K, N и M со­от­вет­ствен­но так, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN  — тра­пе­ция с ос­но­ва­ни­я­ми KL  =  3 и MN  =  2. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM пе­ре­се­ка­ет ребра SC и SD в их се­ре­ди­нах.

б)  Най­ди­те вы­со­ту SH пи­ра­ми­ды, если точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды сов­па­да­ет с точ­кой H, пло­щадь ос­но­ва­ния равна 24, а пло­щадь се­че­ния KLMN  =  10.

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат ABCD. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребра SA, SB, SC и SD в точ­ках L, K, N и M со­от­вет­ствен­но, при­чем SK : KB  =  2 : 1, а точки L и M  — се­ре­ди­ны ребер SA и SD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, длины ос­но­ва­ний ко­то­рой от­но­сят­ся как 3 : 4.

б)  Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если угол между плос­ко­стя­ми ABC и α равен 45°, пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α равна а пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 54.

В ос­но­ва­нии че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD лежит квад­рат ABCD. Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребра SA, SB, SC и SD в точ­ках L, K, N и M со­от­вет­ствен­но, при­чем SK : KB  =  3 : 1, а точки L и M  — се­ре­ди­ны ребер SA и SD.

а)  До­ка­жи­те, что че­ты­рех­уголь­ник KLMN яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей, длины ос­но­ва­ний ко­то­рой от­но­сят­ся как 2 : 3.

б)  Най­ди­те вы­со­ту пи­ра­ми­ды, если угол между плос­ко­стя­ми ABC и α равен 30°, пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью α равна а пло­щадь ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды равна 32.

Грани ABD и ACD тет­ра­эд­ра ABCD яв­ля­ют­ся пра­виль­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми со сто­ро­ной 10 и пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу. На рёбрах AB, AD и CD от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но, причём BK  =  2, AL  =  4, MD  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру CD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка пе­ре­се­че­ния грани ABC и плос­ко­сти KLM.

Грани ABD и ACD тет­ра­эд­ра ABCD яв­ля­ют­ся пра­виль­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми со сто­ро­ной 3 и пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу. На рёбрах и CD от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но, причём

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KLM пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру CD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка пе­ре­се­че­ния грани ABC с плос­ко­стью KLM.

Грани ABD и ACD тет­ра­эд­ра ABCD яв­ля­ют­ся пра­виль­ны­ми тре­уголь­ни­ка­ми со сто­ро­ной 4 и пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру CD и пе­ре­се­ка­ет рёбра AB и CD в точ­ках K и M со­от­вет­ствен­но, причём

а)  До­ка­жи­те, что K  — се­ре­ди­на ребра AB.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния тет­ра­эд­ра плос­ко­стью α.