а)  За­ме­тим, что угол BAC  ― ли­ней­ный угол дву­гран­но­го угла при ребре AA₁. Тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Пусть вы­со­та приз­мы равна h. Тогда из тео­ре­мы ко­си­ну­сов

По­это­му угол BA₁C₁ боль­ше угла BAC, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б)  ABCA₁B₁C₁ ― пря­мая приз­ма, ее бо­ко­вые грани  ― пря­мо­уголь­ни­ки, по­это­му рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и BB₁ равно AB, а рас­сто­я­ние между бо­ко­вы­ми реб­ра­ми AA₁ и СС₁ равно AC. Таким об­ра­зом, AB  =  5, AC  =  8 и

Пусть от­ре­зок AH  ― вы­со­та тре­уголь­ни­ка ABC (см. рис.). Вы­со­та AH пер­пен­ди­ку­ляр­на сто­ро­не BC, а вы­со­та AH пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру BB₁, по­это­му вы­со­та AH пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти (BC₁C), и, зна­чит, длина от­рез­ка AH и есть ис­ко­мое рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до па­рал­лель­ной ей плос­ко­сти BC₁C.

Рас­смат­ри­вая тре­уголь­ник ABC, на­хо­дим:

Тогда

Таким об­ра­зом, рас­сто­я­ние от пря­мой AA₁ до плос­ко­сти BC₁C равно

Ответ: б)