Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 14 № 642348
i

Дана че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да SABCD, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит ромб ABCD со сто­ро­ной 10. Из­вест­но, что SA = SC = 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та , SB = 20 и AC = 10.

а)  До­ка­жи­те, что ребро SD пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды SABCD.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AC и SB.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пусть точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей AC и BD. Из усло­вия

BO в квад­ра­те = AB в квад­ра­те минус AO в квад­ра­те =10 в квад­ра­те минус 5 в квад­ра­те = 75,

от­ку­да BD = 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 75 конец ар­гу­мен­та = 10 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та . Из рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка ASC по­лу­ча­ем:

SO в квад­ра­те = SA в квад­ра­те минус AO в квад­ра­те =200 минус 25 = 175,

от­ку­да SO = 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та . По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SOB на­хо­дим:

ко­си­нус \angle SOB = дробь: чис­ли­тель: SO в квад­ра­те плюс BO в квад­ра­те минус SA в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на SO умно­жить на BO конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 175 плюс 75 минус 400, зна­ме­на­тель: 2 умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби ,

от­ку­да ко­си­нус \angle SOD = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби . Сле­до­ва­тель­но, по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка SOD

SD в квад­ра­те = SO в квад­ра­те плюс OD в квад­ра­те минус 2 умно­жить на SO умно­жить на OD умно­жить на ко­си­нус \angle SOD =
=175 плюс 75 минус 2 умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 7 конец ар­гу­мен­та умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 21 конец ар­гу­мен­та конец дроби = 250 минус 2 умно­жить на 5 умно­жить на 5 умно­жить на 3 = 100,

от­ку­да SD  =  10. За­ме­тим, что SD в квад­ра­те = SB в квад­ра­те минус BD в квад­ра­те , от­ку­да \angle SDB = 90 гра­ду­сов. Ана­ло­гич­но SD в квад­ра­те = AS в квад­ра­те минус AD в квад­ра­те , от­ку­да \angle SDA = 90 гра­ду­сов . Тогда по при­зна­ку пер­пен­ди­ку­ляр­но­сти пря­мой и плос­ко­сти пря­мая SD пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти ABCD.

б)  За­ме­тим, что диа­го­наль AC пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти SBD (по­сколь­ку диа­го­на­ли AC и BD пер­пен­ди­ку­ляр­ны и диа­го­наль AC пер­пен­ди­ку­ляр­на ребру SD), по­это­му ис­ко­мое рас­сто­я­ние равно рас­сто­я­нию от точки O до ребра SB.

Пусть точка H  — ос­но­ва­ние пер­пен­ди­ку­ля­ра, про­ве­ден­но­го из точки O к ребру BS. Тре­уголь­ни­ки BOH и BSD по­доб­ны, сле­до­ва­тель­но,

дробь: чис­ли­тель: OH, зна­ме­на­тель: SD конец дроби = дробь: чис­ли­тель: BO, зна­ме­на­тель: BS конец дроби ,

сле­до­ва­тель­но,

OH = дробь: чис­ли­тель: SD умно­жить на BO, зна­ме­на­тель: BS конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 10 умно­жить на 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 20 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Ответ: б) дробь: чис­ли­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источники:
Методы геометрии: Тео­ре­ма ко­си­ну­сов, Тео­ре­ма Пи­фа­го­ра
Классификатор стереометрии: Пер­пен­ди­ку­ляр­ность пря­мой и плос­ко­сти, Рас­сто­я­ние между пря­мы­ми, Че­ты­рех­уголь­ная пи­ра­ми­да
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025