Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 526703

В кубе ABCDA1B1C1D1 рёбра равны 1. На продолжении отрезка A1C1 за точку C1 отмечена точка M так, что A1C1 = C1M, а на продолжении отрезка B1C за точку C отмечена точка N так, что B1C = CN.

а) Докажите, что MN = MB1.

б) Найдите расстояние между прямыми B1C1 и MN.

Решение.

а) Введем систему координат, как показано на рисунке. В введенной системе координат имеем:

M( минус 1; 2; 1), N( минус 1; 1; минус 1), B_1(1; 1; 1), C_1(0; 1; 1).

\overrightarrow{MN}=(0; минус 1; минус 2), \overrightarrow{MB_1}=(2; минус 1; 0), \overrightarrow{B_1C_1}=( минус 1; 0; 0)

|\overrightarrow{MN}|= корень из 5 , |\overrightarrow{MB_1}|= корень из 5 .

Таким образом, у нас получилось, что MN=MB_1.

б) Заметим, что проекцией B1C1 на плоскость DCC1D1 является точка C1. Спроектируем MN на плоскость DCC1D1, получим отрезок M1N1. Таким образом, задача свелась к нахождению расстояния от точки C1 до M1N1. Это расстояние равно длине высоты, проведенной из вершины C1 треугольника N1C1M1. Очевидно, что данный треугольник является прямоугольным, а его катеты равны 2 и 1. Тогда его гипотенуза находится по теореме Пифагора, она равна  корень из 5 . Следовательно, высота равна

h= дробь, числитель — 2 умножить на 1, знаменатель — корень из 5 = дробь, числитель — 2 корень из 5 , знаменатель — 5 .

Ответ: б)  дробь, числитель — 2 корень из { 5}, знаменатель — 5 .

Источник: Резервная волна ЕГЭ по математике 24.06.2019. Вариант 992, Задания 14 (С2) ЕГЭ 2019
Методы геометрии: Использование векторов, Метод координат
Классификатор стереометрии: Деление отрезка, Куб, Расстояние между прямыми