В основании правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 лежит треугольник ABC. На прямой AA1 отмечена точка D так, что A1 — середина AD. На прямой B1C1 отмечена точка E так, что C1 — середина B1E.
а) Докажите, что прямые A1B1 и DE перпендикулярны.
б) Найдите расстояние между прямыми AB и DE, если AB = 4, а AA1 = 1.
а) Прямая AD перпендикулярна плоскости A1B1C1, поэтому проекцией прямой DE на эту плоскость является прямая A1E. Заметим, что в треугольнике A1EB1 медиана A1C1 равна половине стороны B1E, поэтому треугольник A1EB1 прямоугольный с прямым углом A1. Отсюда по теореме о трех перпендикулярах получаем, что ребро A1B1 перпендикулярно прямой DE.
б) В прямоугольном треугольнике A1EB1 найдем катет 
Далее, пусть L — точка пересечения прямой DE и плоскости ABC. Тогда отрезки AL и A1E параллельны, следовательно, 
по теореме о средней линии треугольника. 
поэтому угол 
прямой, следовательно, прямая AB перпендикулярна плоскости ADE, поэтому расстояние между прямыми DE и AB равно расстоянию от точки A до прямой DE, то есть высоте AF прямоугольного треугольника с катетами AD = 2 и 
Далее вычислим расстояние между прямыми AB и DE:
Ответ: 