В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния AB = 6, а бо­ко­вое ребро На рёбрах AB, A₁D₁ и C₁D₁ от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  A₁N  =  C₁K  =  1.

а)  Пусть L  — точка пе­ре­се­че­ния плос­ко­сти MNK с реб­ром BC. До­ка­жи­те, что MNKL  — квад­рат.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния приз­мы плос­ко­стью MNK.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на ос­но­ва­ния равна 12, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно На рёбрах AB и B₁C₁ от­ме­че­ны точки K и L, со­от­вет­ствен­но, причём AK  =  2, а B₁L  =  4. Точка M  — се­ре­ди­на ребра A₁C₁. Плос­кость γ па­рал­лель­на ребру AC и со­дер­жит точки K и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая BM пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти γ.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 8, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно На рёбрах BC и C₁D₁ от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но, причём BK  =  C₁L  =  2. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой BD и со­дер­жит точки K и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая A₁C пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти γ.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна а вы­со­та SH пи­ра­ми­ды равна 3. Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер CD и AB со­от­вет­ствен­но, а NT  — вы­со­та пи­ра­ми­ды NSCD с вер­ши­ной N и ос­но­ва­ни­ем SCD.

а)  До­ка­жи­те, что точка T яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной SM.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между NT и SC.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны длины рёбер: AB  =  4, BC  =  3, AA₁  =  2. Точки P и Q  — се­ре­ди­ны рёбер A₁B₁ и CC₁ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро B₁C₁ в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что B₁K : KC₁  =  2 : 1.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁ плос­ко­стью APQ.

В ос­но­ва­нии пря­мой тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁ лежит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC с пря­мым углом C, AC  =  4, BC  =  16, Точка Q  — се­ре­ди­на ребра A₁B₁, а точка P делит ребро B₁C₁ в от­но­ше­нии 1 : 2, счи­тая от вер­ши­ны C₁. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки A₁ до плос­ко­сти APQ.

На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP  =  4, а B₁Q  =  3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти APQ.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 12, а вы­со­та приз­мы равна 2. На рёбрах B₁C₁ и AB от­ме­че­ны точки P и Q со­от­вет­ствен­но, причём PC₁  =  3, а AQ  =  4. Плос­кость A₁PQ пе­ре­се­ка­ет ребро BC в точке M.

а)  До­ка­жи­те, что точка M яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра BC.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B до плос­ко­сти A₁PQ.

На рёбрах DD₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP  =  10, а B₁Q  =  4. Плос­кость A₁PQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С₁ до плос­ко­сти A₁PQ.

На рёбрах DD₁ и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 8 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP  =  7, а B₁Q  =  3. Плос­кость A₁PQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С₁ до плос­ко­сти A₁PQ.

На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с реб­ром 12 от­ме­че­ны точки Р и Q со­от­вет­ствен­но, причём DP  =  4, а B₁Q  =  3. Плос­кость APQ пе­ре­се­ка­ет ребро CC₁ в точке М.

а)  До­ка­жи­те, что точка М яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной ребра CC₁.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти APQ.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD бо­ко­вое ребро SA равно а вы­со­та SH пи­ра­ми­ды равна Точки M и N  — се­ре­ди­ны рёбер CD и AB, со­от­вет­ствен­но, а NT  — вы­со­та пи­ра­ми­ды с вер­ши­ной N и ос­но­ва­ни­ем SCD.

а)  До­ка­жи­те, что точка T яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной SM.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между NT и SC.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 8. На рёбрах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  3, CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNB₁ раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB₁.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ все рёбра равны 6. На рёбрах AA₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки M и N со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  2, CN  =  1.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость MNB₁ раз­би­ва­ет приз­му на два мно­го­гран­ни­ка, объёмы ко­то­рых равны.

б)  Най­ди­те объём тет­ра­эд­ра MNBB₁.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме АВСDА₁В₁С₁D₁ сто­ро­на АВ ос­но­ва­ния равна 6, а бо­ко­вое ребро АА₁ равно На реб­рах BC и C₁D₁ от­ме­че­ны точки К и L со­от­вет­ствен­но, причём ВК  =  4, C₁L  =  5. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой BD и со­дер­жит точки К и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая AC₁ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B₁ до плос­ко­сти γ.

В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де SABCD сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 16, а вы­со­та пи­ра­ми­ды равна 4. На рёбрах AB, CD и AS от­ме­че­ны точки M, N и K со­от­вет­ствен­но, причём AM  =  DN  =  4 и AK  =  3.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти MNK и SBC па­рал­лель­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки M до плос­ко­сти SBC.

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме АВСА′B′C′ сто­ро­на ос­но­ва­ния АВ равна 6, а бо­ко­вое ребро АА′ равно 3. На ребре АВ от­ме­че­на точка К так, что АК  =  1. Точки М и L  — се­ре­ди­ны рёбер А′С′ и В′С′ со­от­вет­ствен­но. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой АС и со­дер­жит точки К и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая ВМ пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки С до плос­ко­сти γ.

В тре­уголь­ной пи­ра­ми­де ABCD дву­гран­ные углы при рёбрах AD и BC равны. AB  =  BD  =  DC  =  AC  =  5.

а)  До­ка­жи­те, что AD  =  BC.

б)  Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, если дву­гран­ные углы при AD и BC равны 60°.