Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 514520

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.

а) Докажите, что точка T является серединой SM.

б) Найдите расстояние между NT и SC.

Спрятать решение

Решение.

а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC.

AH= дробь: числитель: AB, знаменатель: корень из 2 конец дроби = корень из 6 ,

AS= корень из SH в квадрате плюс AH в квадрате = корень из 15,

MN=AD=2 корень из 3 ,

SM=SN= корень из SA в квадрате минус AN в квадрате =2 корень из 3 .

Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT — его высота и, следовательно, медиана, T — середина SM.

б) Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC. Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно,  дробь: числитель: ET, знаменатель: MC конец дроби = дробь: числитель: ST, знаменатель: SC конец дроби , откуда

ET= дробь: числитель: ST умножить на CM, знаменатель: SC конец дроби = дробь: числитель: SM умножить на CD, знаменатель: 4SC конец дроби = дробь: числитель: 2 корень из 3 умножить на 2 корень из 3 , знаменатель: 4 умножить на корень из 15 конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: корень из 15 конец дроби = дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 5 конец дроби .

 

Ответ: б)  дробь: числитель: корень из 15, знаменатель: 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

ИЛИ

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

ИЛИ

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

ИЛИ

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 514520: 514555 Все

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (C часть).