Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 514520

В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона AB основания равна 2 корень из 3 , а высота SH пирамиды равна 3. Точки M и N — середины рёбер CD и AB, соответственно, а NT — высота пирамиды NSCD с вершиной N и основанием SCD.

а) Докажите, что точка T является серединой SM.

б) Найдите расстояние между NT и SC.

Решение.

а) Точка H лежит на отрезке MN. Так как NC = ND, то TC = TD. Это означает, что точка T лежит на SM. Таким образом, точки T и H лежат в плоскости SNM, перпендикулярной плоскости ABC.

AH= дробь, числитель — AB, знаменатель — корень из 2 = корень из 6 ,

AS= корень из { SH в степени 2 плюс AH в степени 2 }= корень из { 15},

MN=AD=2 корень из 3 ,

SM=SN= корень из { SA в степени 2 минус AN в степени 2 }=2 корень из 3 .

Значит, треугольник SNM равносторонний, а NT — его высота и, следовательно, медиана, T — середина SM.

б) Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки T на прямую SC. Прямые NT и TE перпендикулярны, так как NT — высота пирамиды NSCD. Поскольку отрезок TE перпендикулярен как прямой SC, так и прямой NT, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники SET и SMC подобны, следовательно,  дробь, числитель — ET, знаменатель — MC = дробь, числитель — ST, знаменатель — SC , откуда

ET= дробь, числитель — ST умножить на CM, знаменатель — SC = дробь, числитель — SM умножить на CD, знаменатель — 4SC = дробь, числитель — 2 корень из 3 умножить на 2 корень из 3 , знаменатель — 4 умножить на корень из { 15 }= дробь, числитель — 3, знаменатель — корень из { 15 }= дробь, числитель — корень из { 15}, знаменатель — 5 .

 

Ответ: б)  дробь, числитель — корень из { 15}, знаменатель — 5 .


Аналоги к заданию № 514520: 514555 Все

Источник: Задания 14 (С2) ЕГЭ 2016, ЕГЭ по математике 06.06.2016. Основная волна. Вариант 512 (C часть).
Классификатор стереометрии: Правильная четырёхугольная пирамида, Расстояние между скрещивающимися прямыми