Дан пра­виль­ный тре­уголь­ник ABC. Точка D лежит вне плос­ко­сти ABC,

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между пря­мы­ми AD и BC, если AC  =  6.

Вне плос­ко­сти пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка ABC рас­по­ло­же­на точка D, при­чем

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние между этими пря­мы­ми, если AB  =  2.

Дана тре­уголь­ная пи­ра­ми­да SABC. Ос­но­ва­ние вы­со­ты SO этой пи­ра­ми­ды яв­ля­ет­ся се­ре­ди­ной от­рез­ка CH  — вы­со­ты тре­уголь­ни­ка  ABC.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды SABC, если

Раз­лич­ные точки A, B и C лежат на окруж­но­сти ос­но­ва­ния ко­ну­са с вер­ши­ной S так, что от­ре­зок AB яв­ля­ет­ся её диа­мет­ром. Угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния равен 60°.

a) До­ка­жи­те, что

б) Най­ди­те объем тет­ра­эд­ра SABC, если и

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки M и N  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и N па­рал­лель­но пря­мой SO.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α, если а пря­мая SO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD.

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит тра­пе­ция ABCD с боль­шим ос­но­ва­ни­ем AD. Диа­го­на­ли тра­пе­ции пе­ре­се­ка­ют­ся в точке O. Точки M и N  — се­ре­ди­ны бо­ко­вых сто­рон AB и CD со­от­вет­ствен­но. Плос­кость α про­хо­дит через точки M и N па­рал­лель­но пря­мой SO.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α яв­ля­ет­ся тра­пе­ци­ей.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды SABCD плос­ко­стью α, если а пря­мая SO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AD.

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми рёбер AB и AD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Плос­кость α про­хо­дит через точки N и B₁ па­рал­лель­но пря­мой CM. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α, если

В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ точки M и N яв­ля­ют­ся се­ре­ди­на­ми рёбер AB и AD со­от­вет­ствен­но.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мые B₁N и CM пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Плос­кость α про­хо­дит через точки N и B₁ па­рал­лель­но пря­мой CM. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α, если

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на диа­го­на­ли BD₁ от­ме­че­на точка N так, что Точка O  — се­ре­ди­на от­рез­ка CB₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая NO про­хо­дит через точку A.

б)  Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина от­рез­ка NO равна рас­сто­я­нию между пря­мы­ми BD₁ и CB₁ и равна

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ на диа­го­на­ли BD₁ от­ме­че­на точка N так, что Точка O  — се­ре­ди­на от­рез­ка CB₁.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая NO про­хо­дит через точку A.

б)  Най­ди­те объём па­рал­ле­ле­пи­пе­да ABCDA₁B₁C₁D₁, если длина от­рез­ка NO равна рас­сто­я­нию между пря­мы­ми BD₁ и CB₁ и равна

Точка М  — се­ре­ди­на бо­ко­во­го ребра SC пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD, точка N лежит на сто­ро­не ос­но­ва­ния ВС. Плос­кость α про­хо­дит через точки М и N па­рал­лель­но бо­ко­во­му ребру SA.

а)  Плос­кость α пе­ре­се­ка­ет ребро DS в точке L. До­ка­жи­те, что

б)  Пусть Най­ди­те от­но­ше­ние объёмов мно­го­гран­ни­ков, на ко­то­рые плос­кость α раз­би­ва­ет пи­ра­ми­ду.

Точка O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей грани CDD₁C₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁. Плос­кость  DA₁C₁ пе­ре­се­ка­ет диа­го­наль  BD₁ в точке  F.

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Точки M и N  — се­ре­ди­ны ребер AB и AA₁, со­от­вет­ствен­но. Най­ди­те угол между пря­мой  MN и плос­ко­стью  DA₁C₁.

Дана пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да SABCD. Точка M  — се­ре­ди­на SA, на ребре SB от­ме­че­на точка N так, что

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость CMN па­рал­лель­на пря­мой SD.

б)  Най­ди­те пло­щадь се­че­ния пи­ра­ми­ды плос­ко­стью CMN, если все рёбра равны 12.

Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁ тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит тре­уголь­ник ABC. Плос­кость α про­хо­дит через точки B и B₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой C₁M.

а)  До­ка­жи­те, что одна из диа­го­на­лей грани ACC₁A₁ равна од­но­му из ребер этой грани.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α, если плос­кость α делит ребро AC в от­но­ше­нии 1:5, счи­тая от вер­ши­ны A, AC  =  20, AA₁  =  32.

Точка M  — се­ре­ди­на ребра AA₁ тре­уголь­ной приз­мы ABCA₁B₁C₁, в ос­но­ва­нии ко­то­рой лежит тре­уголь­ник ABC. Плос­кость α про­хо­дит через точки B и B₁ пер­пен­ди­ку­ляр­но пря­мой C₁M.

а)  До­ка­жи­те, что одна из диа­го­на­лей грани ACC₁A₁ равна од­но­му из ребер этой грани.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки C до плос­ко­сти α, если плос­кость α делит ребро AC в от­но­ше­нии 1 : 3, счи­тая от вер­ши­ны A, AC  =  10, AA₁  =  12.

На сфере α вы­бра­ли пять точек: A, B, C, D и S. Из­вест­но, что AB  =  BC  =  CD  =  DA  =  4, SA  =  SB  =  SC  =  SD  =  7.

а)  До­ка­жи­те, что мно­го­гран­ник SABCD  — пра­виль­ная четырёхуголь­ная пи­ра­ми­да.

б)  Най­ди­те объём мно­го­гран­ни­ка SABCD.