Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.
а) Докажите, что плоскости A1BD и B1D1C параллельны.
б) Найдите расстояние между плоскостями A1BD и B1D1C.
а) Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины A1, B и D куба ABCDA1B1C1D1. Ортогональная проекция AC диагонали AC1 куба на плоскость основания ABCD перпендикулярна прямой BD, поэтому AC1 и BD перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Аналогично AC1 перпендикулярна DA1. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости диагональ AC1 перпендикулярна плоскости треугольника DA1B. Аналогично докажем, что плоскость треугольника D1B1C перпендикулярна диагонали AC1. Плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой. Это и требовалось доказать.
б) Рассмотрим сечение 
пусть Е и F — основания высот
а тогда
Приведем решение Ирины Шарго.
а) Прямая BD параллельна прямой B1D1, прямая BA1 параллельна прямой CD1, следовательно, плоскости A1BD и B1D1C параллельны.
б) Расстояние между плоскостями A1BD и B1D1C равно расстоянию от точки C до плоскости A1BD. Пусть это расстояние равно h, найдем его как высоту тетраэдра CA1BD, выразив объем двумя способами: взяв за основание треугольник A1BD, откуда 
и взяв за основание треугольник CBD: 
Найдем площадь треугольника A1BD:
Тогда
Примечание.
Внимательный читатель узнал, конечно, известную теорему: в любом параллелепипеде (не обязательно прямоугольном) ABCDA1B1C1D1 плоскости сечений DA1B и D1B1C параллельны и делят диагональ параллелепипеда AC1 на три равные части. Докажем эту теорему.
Плоскости 
параллельны, поскольку прямая 
параллельна прямой 
и прямая 
параллельна прямой 
Возьмем теперь плоскости и параллельные им плоскости, проходящие через вершины А и С1. Отрезки 
и 
равны, параллельны и лежат своими концами на этих плоскостях, поэтому расстояния между соседними плоскостями равны (и равны длине умноженной на синус угла между 
с этими плоскостями). А тогда любой отрезок с концами на крайних плоскостях остальные две плоскости разбивают на три равные части. В частности, это относится к диагонали 