СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
Математика профильного уровня
Cайты, меню, вход, новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 14 № 530064

Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром 2.

а) Докажите, что плоскости A1BD и B1D1C параллельны.

б) Найдите расстояние между плоскостями A1BD и B1D1C.

Решение.

а) Рассмотрим плоскость, проходящую через вершины A1, B и D куба ABCDA1B1C1D1. Ортогональная проекция AC диагонали AC1 куба на плоскость основания ABCD перпендикулярна прямой BD, поэтому AC1 и BD перпендикулярны по теореме о трех перпендикулярах. Аналогично, AC1 перпендикулярна DA1. Значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, диагональ AC1 перпендикулярна плоскости треугольника DA1B. Аналогично докажем, что плоскость треугольника D1B1C перпендикулярна диагонали AC1. Плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны между собой. Это и требовалось доказать.

б) Рассмотрим сечение пусть Е и F — основания высот AE и C1F прямоугольных треугольников A1AO и СС1O1 соответственно. Тогда искомое расстояние между плоскостями равно длине отрезка EF. Катетами указанных треугольников являются ребро куба и половина диагонали грани куба. Тем самым, эти треугольники равны, а тогда равны и их высоты, проведенные к гипотенузам. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу, поэтому

а тогда

 

Примечание.

Внимательный читатель узнал, конечно, известную теорему: в любом параллелепипеде (не обязательно прямоугольном) ABCDA1B1C1D1 плоскости сечений DA1B и D1B1C параллельны и делят диагональ параллелепипеда AC1 на три равные части. Докажем эту теорему.

Плоскости параллельны, поскольку прямая параллельна прямой и прямая параллельна прямой Возьмем теперь плоскости и параллельные им плоскости, проходящие через вершины А и С1. Отрезки и равны, параллельны и лежат своими концами на этих плоскостях, поэтому расстояния между соседними плоскостями равны (и равны длине умноженной на синус угла между с этими плоскостями). А тогда любой отрезок с концами на крайних плоскостях остальные две плоскости разбивают на три равные части. В частности, это относится к диагонали

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 292.