1. Тип 13 № 501689 
Источники:
Классификатор алгебры: Однородные тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Сведение к однородному
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения. Тригонометрия и показательные выражения
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем исходное уравнение:
б) С помощью числовой окружности отберем корни, принадлежащие отрезку Получим числа: 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 501689
а) б)
б) Классификатор алгебры: Однородные тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Сведение к однородному
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
б) 
Далее имеем:
для каждой из полученных серий корней находим, что заданному промежутку принадлежат числа 
и только они.
б) 
б) 
тогда исходное уравнение запишется в виде 
получим: 
получим: 
Получим числа: 
б) 
тогда исходное уравнение можно преобразовать так: 
б) 
б) 
б) 
удовлетворяют только числа 
б) 
что невозможно, или 
откуда 
или 
б) 
Получим число 
б) 
Сделаем замену 
Получаем: 
или 
откуда 
или 
или 
откуда 
где 
с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
тогда уравнение примет вид:
б) 
б) 
б) 
тогда исходное уравнение примет вид:
б) 
т. е. корни, лежащие на промежутке 
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.). Получаем:
б) 
имеем:
с помощью тригонометрической окружности (см. рис.), получим 
б) 
и преобразуем уравнение: 
отберём с помощью единичной окружности. Заметим, что 
тогда 
а 
Подходит только корень 
б) 
имеем: 
б) 
б) 
Получаем:
с помощью единичной окружности. Получаем 
б) 
б) 
получаем:
и 
б) 
поэтому найденный корень лежит на заданном отрезке.
б) 
б) 
исходное уравнение эквивалентно уравнению:
б) 
б) 
Находим: 
б) 
тогда
б) 
получим:
б) 
Получим числа 
б) 
и 
Разделим обе части уравнения на 
Получим:
может лежать не больше двух членов серии 
и не больше одного члена серии 
Из первой серии это числа 
и 
б) 
находим: 
:
б) 
При этом условии оно равносильно совокупности:
Для второй серии аналогично:
б) 
б) 
тогда:
не имеет решений. Осталось решить уравнение 
б) 
соответствуют решения 
б) 
Подходят число 
и число 
при условии 
Получим:
отберем при помощи единичной окружности. Подходит число 
Тогда уравнение принимает вид
получаем уравнение 
оно не имеет решений. При 
получаем уравнение 
Пусть 
тогда 
или 
Первое из этих уравнений не имеет решений, для второго уравнения находим:
знаменатель не определен, а для всех чисел 
определен.
и 0.
0.
Для таких значений x числитель дроби должен быть равен нулю:
удовлетворяют числа 
и 
б) 
