Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 13 № 533829

а) Решите уравнение 4 в степени синус x минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — { 2 плюс корень из 2 } умножить на 2 в степени с инус x} минус 1 = 0.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; 2 правая квадратная скобка .

Решение.

а) Сделаем замену t=2 в степени синус x и преобразуем уравнение

 

t в степени 2 умножить на 4 в степени минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 4 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 плюс корень из { 2 } умножить на t минус 1=0 равносильно дробь, числитель — t в степени 2 , знаменатель — корень из { 2 } минус дробь, числитель — 2 минус корень из { 2}, знаменатель — 2 умножить на t минус 1=0 равносильно дробь, числитель — t в степени 2 , знаменатель — корень из { 2 } минус левая круглая скобка 1 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 2 } правая круглая скобка t минус 1=0 равносильно

 равносильно t в степени 2 минус левая круглая скобка корень из { 2} минус 1 правая круглая скобка t минус корень из { 2}=0 равносильно t в степени 2 минус левая круглая скобка корень из { 2} плюс ( минус 1) правая круглая скобка t плюс ( минус 1) умножить на корень из { 2}=0 равносильно совокупность выражений t= минус 1,t= корень из { 2}. конец совокупности .

Вернёмся к исходной переменной:

 совокупность выражений 2 в степени синус x = минус 1 ,2 в степени синус x = корень из { 2} конец совокупности . равносильно 2 в степени синус x = корень из { 2} равносильно синус x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 равносильно совокупность выражений x= дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k,x= дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k, конец совокупности k принадлежит Z. }.

б) Корни уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ; 2 правая квадратная скобка , отберём с помощью единичной окружности. Заметим, что  Пи больше 3, тогда  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 больше дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 , а  дробь, числитель — 2 Пи , знаменатель — 3 больше 2. Подходит только корень  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 .

 

Ответ: a) \left\{ дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k, дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 плюс 2 Пи k: k принадлежит Z\}; б)  дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 .

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 305. (Часть C)