а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ную тре­уголь­ную пи­ра­ми­ду с бо­ко­вым реб­ром 4 и сто­ро­ной ос­но­ва­ния впи­сан шар. Плос­кость α пер­пен­ди­ку­ляр­на вы­со­те пи­ра­ми­ды и про­хо­дит через её се­ре­ди­ну.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость α и шар не имеют общих точек.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от цен­тра шара до плос­ко­сти α.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В на­ча­ле года у Ивана есть 90 тысяч руб­лей, ко­то­рые он может по­ло­жить це­ли­ком либо на бан­ков­ский, либо на ин­ве­сти­ци­он­ный счёт. Сумма на ин­ве­сти­ци­он­ном счёте на конец лю­бо­го года вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где S₀  — сумма на ин­ве­сти­ци­он­ном счёте на на­ча­ло года в руб­лях. На бан­ков­ском счёте сумма уве­ли­чи­ва­ет­ся за год на 8%. В на­ча­ле лю­бо­го года Иван может пе­ре­ло­жить всю сумму с од­но­го счёта на дру­гой. Какая наи­боль­шая сумма может быть у Ивана через че­ты­ре года? Ответ дайте в руб­лях.

Окруж­ность, впи­сан­ная в тра­пе­цию ABCD, ка­са­ет­ся ее бо­ко­вых сто­рон AB и CD в точ­ках М и N со­от­вет­ствен­но. Из­вест­но, что и

а)  До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка MN, если ра­ди­ус окруж­но­сти равен

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

не вы­пол­ня­ет­ся ни при каких дей­стви­тель­ных зна­че­ни­ях x.

Три дву­знач­ных на­ту­раль­ных числа x₁, x₂, x₃ об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию. При этом если в каж­дом из них по­ме­нять ме­ста­ми цифры де­сят­ков и еди­ниц, то по­лу­чат­ся числа y₁, y₂, y₃, ко­то­рые также об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию.

а)  При­ве­ди­те при­мер такой про­грес­сии.

б)  Чему равна наи­боль­шая раз­ность такой про­грес­сии?

в)  Сколь­ко су­ще­ству­ет таких про­грес­сий?