Сто­ро­ны че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD AB, BC, CD и AD стя­ги­ва­ют дуги опи­сан­ной окруж­но­сти, гра­дус­ные ве­ли­чи­ны ко­то­рых равны со­от­вет­ствен­но Най­ди­те угол B этого че­ты­рех­уголь­ни­ка. Ответ дайте в гра­ду­сах.

На ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ны век­то­ры и Най­ди­те их ска­ляр­ное про­из­ве­де­ние

Най­ди­те объем мно­го­гран­ни­ка, изоб­ра­жен­но­го на ри­сун­ке (все дву­гран­ные углы пря­мые).

В клас­се 9 уча­щих­ся, среди них два друга  — Ми­ха­ил и Ан­дрей. Уча­щих­ся слу­чай­ным об­ра­зом раз­би­ва­ют на 3 рав­ные груп­пы. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что Ми­ха­ил и Ан­дрей ока­жут­ся в раз­ных груп­пах.

Пра­виль­ный иг­раль­ный кубик бро­са­ли до тех пор, пока сумма вы­пав­ших при всех брос­ках очков не стала равна 3. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что был сде­лан ровно один бро­сок? Ответ округ­ли­те до сотых.

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (–1; 13). Най­ди­те ко­ли­че­ство ре­ше­ний урав­не­ния на от­рез­ке [3; 11].

Очень лeгкий за­ря­жен­ный ме­тал­ли­че­ский шарик за­ря­дом  Кл ска­ты­ва­ет­ся по глад­кой на­клон­ной плос­ко­сти. В мо­мент, когда его ско­рость со­став­ля­ет  м/с, на него на­чи­на­ет дей­ство­вать по­сто­ян­ное маг­нит­ное поле, век­тор ин­дук­ции B ко­то­ро­го лежит в той же плос­ко­сти и со­став­ля­ет угол  с на­прав­ле­ни­ем дви­же­ния ша­ри­ка. Зна­че­ние ин­дук­ции поля  Тл. При этом на шарик дей­ству­ет сила Ло­рен­ца, рав­ная  (Н) и на­прав­лен­ная вверх пер­пен­ди­ку­ляр­но плос­ко­сти. При каком наи­мень­шем зна­че­нии угла шарик оторвeтся от по­верх­но­сти, если для этого нужно, чтобы сила была не менее чем  Н? Ответ дайте в гра­ду­сах.

Из А в В од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ли­ста. Пер­вый про­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью весь путь. Вто­рой про­ехал первую по­ло­ви­ну пути со ско­ро­стью, мень­шей ско­ро­сти пер­во­го на 18 км/ч, а вто­рую по­ло­ви­ну пути  — со ско­ро­стью 105 км/ч, в ре­зуль­та­те чего при­был в В од­но­вре­мен­но с пер­вым ав­то­мо­би­ли­стом. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста, если из­вест­но, что она боль­ше 62 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции Най­ди­те, при каком зна­че­нии x зна­че­ние функ­ции равно 0,75.

Най­ди­те точку мак­си­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

B пра­виль­ной четырёхуголь­ной приз­ме ABCDA₁B₁C₁D₁ сто­ро­на AB ос­но­ва­ния равна 5, а бо­ко­вое ребро AA₁ равно  На рёбрах BC и C₁D₁ от­ме­че­ны точки K и L со­от­вет­ствен­но, причём BK  =  C₁L  =  2. Плос­кость γ па­рал­лель­на пря­мой BD и со­дер­жит точки K и L.

а)  До­ка­жи­те, что пря­мая A₁C пер­пен­ди­ку­ляр­на плос­ко­сти γ.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды, вер­ши­на ко­то­рой  — точка A₁, а ос­но­ва­ние се­че­ние дан­ной приз­мы плос­ко­стью γ.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

В июле 2026 года пла­ни­ру­ет­ся взять кре­дит на целое число мил­ли­о­нов руб­лей на пять лет. Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  каж­дый ян­варь долг воз­рас­та­ет на 5% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по июнь каж­до­го года не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить одним пла­те­жом часть долга;

—  в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся рав­ным пер­во­на­чаль­но­му;

—  вы­пла­ты в 2030 и 2031 годах равны;

—  к июлю 2031 года долг дол­жен быть вы­пла­чен пол­но­стью.

Най­ди­те наи­боль­ший раз­мер кре­ди­та, при ко­то­ром общая сумма вы­плат заёмщика будет мень­ше 4 млн руб.

Точки P, Q, W делят сто­ро­ны вы­пук­ло­го че­ты­рех­уголь­ни­ка ABCD в от­но­ше­нии

В тре­уголь­ни­ке PQW угол W ост­рый, ра­ди­ус опи­сан­ной во­круг него окруж­но­сти равен 

а)  До­ка­жи­те, что тре­уголь­ник PQW  — пря­мо­уголь­ный.

б)  Най­ди­те пло­щадь четырёхуголь­ни­ка ABCD.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство

вы­пол­ня­ет­ся при всех зна­че­ни­ях x.

На доске на­пи­са­но 10 раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­мень­ших из них равно 7, а сред­нее ариф­ме­ти­че­ское шести наи­боль­ших равно 21.

а)  Может ли наи­мень­шее из этих чисел рав­нять­ся 5?

б)  Может ли сред­нее ариф­ме­ти­че­ское всех чисел рав­нять­ся 16?

в)  Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние сред­не­го ариф­ме­ти­че­ско­го всех де­ся­ти чисел.