Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 530908
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка 1 плюс синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 10 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не не пре­вы­ша­ю­щие 1,5 Пи .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что

1 плюс синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби = синус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс ко­си­нус в квад­ра­те дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс 2 синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби = левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те .

Тогда

левая круг­лая скоб­ка 1 плюс синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 7 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 3 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 10 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 3 минус ко­си­нус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка синус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби плюс ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 14 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка 2 умно­жить на 5 синус x пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 3 минус ко­си­нус 2x=5 синус x рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те x минус 5 синус x плюс 2=0 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x=2, синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но синус x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

 

б)  Отберём корни, по аб­со­лют­ной ве­ли­чи­не не пре­вы­ша­ю­щие 1,5 Пи , т. е. корни, ле­жа­щие на про­ме­жут­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , с по­мо­щью три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­ча­ем: минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k:k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 296
Классификатор алгебры: По­ка­за­тель­ные урав­не­ния, Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Вы­де­ле­ние пол­но­го квад­ра­та, Све­де­ние к од­но­род­но­му
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025