ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип 13 № 527707 Добавить в вариант

а)  Решите уравнение $4 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =1.$

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$

Спрятать решение

Решение.

a)  Преобразуем уравнение:

$4 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =1 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 1 минус 2 косинус 2x правая круглая скобка =1.$ $4 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =1 равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 1 минус 2 косинус 2x правая круглая скобка =1.$ $4 в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 16 в степени левая круглая скобка синус в квадрате x правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 4 синус в квадрате x минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 2 левая круглая скобка 1 минус косинус 2x правая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка =1 равносильно$
$равносильно 2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка минус 2 в степени левая круглая скобка 1 минус 2 косинус 2x правая круглая скобка =1.$

Сделаем замену переменной $t=2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка ,$ тогда уравнение примет вид:

$t минус дробь: числитель: 2, знаменатель: t конец дроби =1 равносильно t в квадрате минус t минус 2=0 равносильно совокупность выражений t=2, t= минус 1. конец совокупности .$

Второй корень является посторонним. Таким образом,

$2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 2 косинус 2x=1 равносильно косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$ $2 в степени левая круглая скобка 2 косинус 2x правая круглая скобка =2 равносильно 2 косинус 2x=1 равносильно косинус 2x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби равносильно$
$равносильно 2x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k,k принадлежит Z равносильно x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z .$

б)  При помощи единичной окружности отберем корни удовлетворяющие промежутку $левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .$ В него попадают $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Ответ: а) $x=\pm дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби плюс Пи k,k принадлежит Z ;$ б) $дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 6 конец дроби , дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 6 конец дроби .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 281

Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.1.4 Тригонометрические уравнения;

2.1.5 Показательные уравнения.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь