1. Тип 13 № 484557 
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Уравнения. Тригонометрия и иррациональности
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Решим уравнение
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа: 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 484557
а) б)
б) Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения
Второй множитель — квадратный корень, поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Следовательно, область определения уравнения задается неравенством 
На этой области второй множитель не обращается в нуль. Рассмотрим случай, когда нулю равен первый множитель. Последовательно получаем:
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
отберём с помощью единичной окружности. Получаем: 
и 
б) 
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
Выражение 
положительно при всех допустимых значениях x.
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
б) 
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
и 
б) 
отберём с помощью единичной окружности. Получаем числа: 
и 
б) 
то решений нет. Если 
то 
Если 
то 
откуда 
или 
получаем: 
:
следует, что ни один из корней второй серии не принадлежит указанному отрезку.
б) 
Выражение 
положительно при всех допустимых 
Значит, 
б) 
б) 
б) 
под знак корня, необходимо рассмотреть два случая:
имеем:
имеем:
и 
при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Получим 
б) 
то 
где 
то
отберём с помощью единичной окружности. Получаем 
б) 
и 
б) 
получим 
это уравнение не имеет решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся формулами двойного угла. Получим:
удовлетворяют только 
и 
и 
б) 
получим в левой части
перейдем к половинному аргументу в правой части и сведем уравнение к однородному тригонометрическому второй степени: 
б) 
при условии 
имеем:
равна 2π. Поэтому на отрезке 
имеющем длину 3π, лежит ровно одно число этой серии. Это число 
б) 
Для второй серии имеем:
б) 
б) 
исходное уравнение равносильно следующим:
б) 
исходное уравнение равносильно следующим:
удовлетворяет только 
и 0.
б) 
0.
и 
лежат корни 
и 
б) 
тогда оно эквивалентно совокупности:
и 
б) 
в правую часть, заметим, что сумма 
не принимает отрицательных значений. Следовательно, при условии 
возведение обеих частей уравнения в квадрат является равносильным преобразованием. Имеем:
В силу основного тригонометрического тождества 
Чтобы преобразовать первый множитель, воспользуемся формулой 
откуда получим: 
Далее применим формулы косинуса тройного угла 
и косинуса половинного угла 
:
тогда имеем:
откуда 
Учитывая условие 
окончательно получаем: 
правая часть полученного двойного неравенства лежит в интервале (−1; 0). Значения k целые, поэтому наибольшее значение k = −1. Оценим левую часть: 
подходит также значение k = −2. Поскольку 
осталось проверить значение k = −3. Покажем, что 
:
и 
б) 
через 
обозначим 
и сведем задачу к уравнению
с корнями −1 и 
Корень −1 посторонний, поскольку обращает знаменатель 
приводит к уравнению 
получим 
и 
исходное уравнение эквивалентно совокупности
и 
б) 
равносильно уравнению 
при условии 
Возведем обе части исходного уравнения в квадрат при условии 
получим:
и 
б) 
б) 
б) 
б) 
б) 
при помощи единичной окружности. Подходят 
б) 
при помощи единичной окружности. Подходят 
0.
б) 
получим 
то есть 
Проверим для найденных решений выполнение условия 
Используем периодичность синуса, применим формулу приведения, получаем:
истинно для всех нечетных k и только для них. Следовательно, решениями уравнения (⁎) являются числа 
где 
— любое нечетное число. Эти числа удовлетворяют условию 
поскольку обращают косинус в нуль. Таким образом, все они являются корнями исходного уравнения.
б) 
откуда 
При всех таких х второй множитель существует, поскольку он определен для любых значений переменной. 
Числа вида 
не подходят, поскольку тангенс любого из них равен нулю. Серия 
также посторонняя, поскольку соответствующие точки лежат во второй четверти, где тангенс отрицателен. Наконец, используя периодичность тангенса, его нечетность и применяя формулу приведения, получаем, что для всех k
подходит. 
или 
и 
б) 
Преобразуем его при этом условии:
при помощи тригонометрической окружности. Подходят 
б) 
Преобразуем уравнение при этом условии: 
и 
б) 
внесем косинус под знак корня и решим полученное уравнение:
Преобразуем уравнение при этих ограничениях, получаем:
и 
б) 
б) 
При таких значениях переменной обе части, возводя обе части уравнения в квадрат, получим равносильное уравнение. Решим его, разложив на множители:
при помощи тригонометрической окружности. Подходит число 
б) 
получаем:
решим полученное уравнение 
б) 
:
и 
б) 
и 
б) 
получим:
меньше 2π, а расстояние между соседними членами в найденных сериях равно 2π. Следовательно, из каждой серии на отрезке может лежать не более одного члена. Очевидно, что подходят решения, соответствующие k = 0, это числа 
б) 
Из серии 
лежат на этом отрезке, поскольку
б) 
0, 
2, 
При таком условии уравнение можно возвести в квадрат:
удовлетворяют решения 
и 
откуда находим:
тогда
Получим числа: 
и 
б) 
при 
и неравенству 
при 
Таким образом, подходят серии корней 
и 
уравнение не имеет решений. При 
откуда, используя тождество 
находим:
и 
получаем:
при условии 
сводится к уравнению 
и имеет корни 2 и 
Тогда 
или 
Первое из полученных уравнений не имеет решений, из второго уравнения находим:
а потому являются корнями исходного уравнения.
отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходят 
для найденных серий решений:
и 
где 
отберем при помощи тригонометрической окружности (см. рис.). Подходят: 
уравнение становится тождеством, следовательно, серия 
является решением уравнения. Будем теперь рассматривать уравнение при 
Кроме того, уравнение имеет смысл только при 
Эти условия эквивалентны одновременной положительности синуса и косинуса. Преобразуем уравнение при указанных ограничениях:
и 
где 
и 
заключаем, что подходят 
и 
соответствуют решения 
и 
оба этих корня принадлежат 
члены обеих серий больше, чем π, а при 
члены обеих серий меньше, чем 
Поэтому других решений на заданном отрезке нет.
зелеными точками покажем корни серии (1), синими — корни серии (2) (см. рис. 1). Из рисунка получаем, что
и 
