Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 679330
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус x конец дроби минус 1 = 0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус 5 Пи ; минус Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  При синус x мень­ше или равно 0 урав­не­ние не имеет ре­ше­ний. При синус x боль­ше 0 обе части урав­не­ния можно умно­жить на синус x, от­ку­да, ис­поль­зуя тож­де­ство синус в квад­ра­те x = 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x, на­хо­дим:

дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: синус x конец дроби = 1 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та = синус x, синус x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­си­нус x = синус в квад­ра­те x, синус x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 2 ко­си­нус в квад­ра­те x минус ко­си­нус x минус 1 = 0, синус x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­си­нус x = 1, ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец си­сте­мы . синус x боль­ше 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус x = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус x боль­ше 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи двой­но­го не­ра­вен­ства:

минус 5 Пи мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k мень­ше или равно минус Пи рав­но­силь­но минус 5 мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2k мень­ше или равно минус 1 рав­но­силь­но минус 15 мень­ше или равно 2 плюс 6k мень­ше или равно минус 3 рав­но­силь­но
рав­но­силь­но минус 17 мень­ше или равно 6k мень­ше или равно минус 5 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 17, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби мень­ше или равно k мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 5, зна­ме­на­тель: 6 конец дроби \underset k при­над­ле­жит Z \mathop рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний k = минус 1, k = минус 2. конец со­во­куп­но­сти .

Най­ден­ным зна­че­ни­ям па­ра­мет­ра со­от­вет­ству­ют числа  минус дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби  и  минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  минус дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 502
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Урав­не­ния, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но три­го­но­мет­ри­че­ских функ­ций, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния
Методы алгебры: До­мно­же­ние на зна­ме­на­тель с учётом ОДЗ, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026