Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 12 № 531557

а) Решите уравнение  корень из синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка умножить на косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби .

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Уравнение имеет корни, только если  косинус x больше 0. При этом условии обе части уравнения неотрицательны и можно возвести их в квадрат. Выполним преобразования:

 корень из синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка умножить на косинус x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 корень из 2 конец дроби равносильно синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс x правая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби минус x правая круглая скобка умножить на косинус в квадрате x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби равносильно

 равносильно 4 левая круглая скобка 1 плюс синус 2x правая круглая скобка косинус в квадрате x=1 равносильно 4 левая круглая скобка синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс косинус в квадрате x правая круглая скобка косинус в квадрате x = 1 равносильно

 равносильно 4 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка в квадрате косинус в квадрате x = 1 равносильно левая круглая скобка 2 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка косинус x правая круглая скобка в квадрате = 1 равносильно

 равносильно совокупность выражений 2 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка косинус x=1,2 левая круглая скобка синус x плюс косинус x правая круглая скобка косинус x = минус 1 конец совокупности . равносильно совокупность выражений синус в квадрате x минус 2 синус x косинус x минус косинус в квадрате x =0, синус в квадрате x плюс 2 синус x косинус x плюс 3 косинус в квадрате x =0. конец совокупности .

Разделим второе уравнение совокупности на  косинус в квадрате x, получим  тангенс в квадрате x плюс 2 тангенс x плюс 3 =0, это уравнение не имеет решений. Умножим обе части первого уравнения на −1 и воспользуемся формулами двойного угла. Получим:

 синус 2x = минус косинус 2x равносильно тангенс 2x = минус 1 равносильно 2x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 4 конец дроби плюс Пи k равносильно x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс дробь: числитель: Пи k, знаменатель: 2 конец дроби , k принадлежит Z .

Из найденных серий условию  косинус x больше 0 удовлетворяют только x = минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k. и x = дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, k принадлежит Z .

Отберем корни при помощи тригонометрической окружности (см. рис.), получим числа  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби и  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фигурная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k : k принадлежит Z правая фигурная скобка ; б)  минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 8 конец дроби и  дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а),

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл2
Источник: А. Ларин. Тренировочный вариант № 299.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Тригонометрические уравнения