а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная че­ты­рех­уголь­ная приз­ма ABCDA₁B₁C₁D₁.

а)  До­ка­жи­те, что плос­ко­сти AD₁C и BB₁D₁ пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

б)  Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки B₁ до плос­ко­сти AD₁C, если AB  =  5 и AA₁  =  6.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В июне 2023 года Ва­ле­рий Ана­то­лье­вич пла­ни­ру­ет взять кре­дит на сумму 709 800 руб­лей на 4 года (по­след­няя вы­пла­та за­пла­ни­ро­ва­на в 2027 году). Усло­вия его воз­вра­та та­ко­вы:

—  в ян­ва­ре 2024 и 2025 годов долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 20% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  в ян­ва­ре 2026 и 2027 годов долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на 25% по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го года;

—  с фев­ра­ля по ап­рель не­об­хо­ди­мо вы­пла­тить часть долга (одну и ту же сумму каж­дый год);

—  к маю 2027 года долг дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен.

Опре­де­ли­те раз­мер еже­год­ной го­до­вой вы­пла­ты в руб­лях.

B пря­мо­уголь­ни­ке ABCD на сто­ро­не AB как на диа­мет­ре по­стро­е­на окруж­ность C цен­тром О. От­ре­зок OD пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в точке М. Из­вест­но, что

а)  До­ка­жи­те, что сто­ро­ны пря­мо­уголь­ни­ка от­но­сят­ся как 5 : 2.

б)  Най­ди­те MC, если из­вест­но, что

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние:

имеет корни, но ни один из них не при­над­ле­жит ин­тер­ва­лу (−2; −1).

На доске на­пи­са­ли 27 на­ту­раль­ных чисел (не­обя­за­тель­но раз­лич­ных), каж­дое из ко­то­рых не пре­вос­хо­дит 22. Сред­нее ариф­ме­ти­че­ское на­пи­сан­ных чисел равно 21. С этими чис­ла­ми про­из­ве­ли сле­ду­ю­щие дей­ствия: чет­ные числа раз­де­ли­ли на 2, a не­чет­ные умно­жи­ли на 2. Пусть А  — сред­нее ариф­ме­ти­че­ское остав­ших­ся после этого чисел.

а)  Могло ли ока­зать­ся так, что A  =  10?

б)  Могло ли ока­зать­ся так, что A  =  12?

в)  Най­ди­те наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние А.