Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та плюс ко­рень из 3 ко­си­нус 2x = 0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Ис­поль­зу­ем ос­нов­ное три­го­но­мет­ри­че­ское тож­де­ство:

ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 минус ко­си­нус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус в квад­ра­те x конец ар­гу­мен­та = | синус x|,

тогда урав­не­ние при­ни­ма­ет вид

| синус x| плюс ко­рень из 3 левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка = 0 рав­но­силь­но | синус x| плюс ко­рень из 3 минус 2 ко­рень из 3 синус в квад­ра­те x=0 рав­но­силь­но 6| синус | в квад­ра­те x минус ко­рень из 3 | синус x| минус 3=0.

Пусть | синус x|=t, тогда

6t в квад­ра­те минус ко­рень из 3 умно­жить на t минус 3=0 рав­но­силь­но t= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 минус 4 умно­жить на 6 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 12 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний t= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , t= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

Вернёмся к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний | синус x|= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , | синус x|= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но | синус x|= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x= дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , синус x= минус дробь: чис­ли­тель: ко­рень из 3 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но x= \pm дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

б)  С по­мо­щью чис­ло­вой окруж­но­сти от­бе­рем корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус Пи ; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . По­лу­чим числа: минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k, дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби плюс Пи k :k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 498
Классификатор алгебры: Урав­не­ния сме­шан­но­го типа, Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния и не­ра­вен­ства
Методы алгебры: За­ме­на пе­ре­мен­ной, Ис­поль­зо­ва­ние ос­нов­но­го три­го­но­мет­ри­че­ско­го тож­де­ства и след­ствий из него
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2026