а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA₁B₁C₁D₁ из­вест­ны длины ребер: BC  =  4, AA₁  =  3. Через центр грани AA₁D₁D пер­пен­ди­ку­ляр­но диа­го­на­ли BD₁ про­хо­дит плос­кость α, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет пря­мую A₁B₁ в точке N.

а)  До­ка­жи­те, что B₁N : NA₁  =  3 : 1.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью α и плос­ко­стью ABC.

Все ребра пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­ды SABCD с ос­но­ва­ни­ем ABCD равны 16. Точка O  — центр ос­но­ва­ния пи­ра­ми­ды. Плос­кость, па­рал­лель­ная пря­мой SB и про­хо­дя­щая через точку O, пе­ре­се­ка­ет рёбра SA и SD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но. Точка K делит ребро SA в от­но­ше­нии SK : KA  =  3 : 5.

а)  До­ка­жи­те, что точка L  — се­ре­ди­на ребра SD.

б)  Най­ди­те длину от­рез­ка, по ко­то­ро­му плос­кость OKL пе­ре­се­ка­ет грань SCD.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

Доход неф­тя­ной ком­па­нии (в у. е.) равен чис­лен­но про­из­ве­де­нию квад­ра­та числа гео­ло­гов на куб числа до­быт­чи­ков. Наем од­но­го гео­ло­га об­хо­дит­ся в 16 у. е., од­но­го до­быт­чи­ка  — в 9 у. е. Если доход за­дан­ной ве­ли­чи­ны по­лу­чен при наи­мень­шем воз­мож­ном рас­хо­де на наем, най­ди­те от­но­ше­ние числа гео­ло­гов к числу до­быт­чи­ков.

15 де­каб­ря 2025 года Дед Мороз, окон­ча­тель­но за­пу­тав­шись в смете на по­дар­ки, решил взять кре­дит в банке «Лед­ни­ко­вый пе­ри­од» на сумму 12 мил­ли­о­нов руб­лей на 24 ме­ся­ца. По­мо­га­ет ему в этом Сне­гу­роч­ка, ко­то­рая в про­шлой жизни была фи­нан­со­вым ана­ли­ти­ком, но ушла в сказ­ку из-за любви к оле­ням. Усло­вия кре­ди­та, со­став­лен­ные хит­рым бан­ки­ром Шко­ди­ным:

—  1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг вы­рас­та­ет на r про­цен­тов  — банк на­зы­ва­ет это «но­во­год­ней ма­ги­ей ин­фля­ции».

—  со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца Дед Мороз дол­жен одним пла­те­жом вне­сти часть долга;

—  15-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг дол­жен умень­шать­ся ровно на одну и ту же сумму по срав­не­нию с преды­ду­щим 15-м чис­лом  — это усло­вие на­зы­ва­ет­ся «рав­но­мер­ное та­я­ние долга, как сне­го­вик в ап­ре­ле».

—  к 15 де­каб­ря 2027 года кре­дит дол­жен быть пол­но­стью по­га­шен  — чтобы встре­тить Новый 2028 год без дол­гов и с чи­стой со­ве­стью.

Сне­гу­роч­ка, во­ору­жив­шись вол­шеб­ным каль­ку­ля­то­ром и глинт­вей­ном, под­счи­та­ла, что общая сумма пла­те­жей в 2027 году со­ста­вит 6 975 000 руб­лей. Най­ди­те r.

В тре­уголь­ни­ке АВС BC  =  8, AC  =  7 про­ве­де­на бис­сек­три­са ВЕ, ко­то­рая пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну АС в точке E, при­чем из­вест­но, что центр О впи­сан­ной в тре­уголь­ник АВС окруж­но­сти делит ВE в от­но­ше­нии BO : OE  =  2 : 1.

а)  До­ка­жи­те, что сто­ро­на АВ де­лит­ся точ­кой ка­са­ния впи­сан­ной окруж­но­сти в от­но­ше­нии 5 : 7, счи­тая от точки А.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка АВС.

В канун Но­во­го года Дед Мороз решил про­ве­рить, не забыл ли он гео­мет­рию за годы раз­да­чи по­дар­ков. Он на­ри­со­вал на льду озера па­рал­ле­ло­грамм ABCD и об­на­ру­жил уди­ви­тель­ный факт: бис­сек­три­са угла BAC ока­за­лась пер­пен­ди­ку­ляр­на диа­го­на­ли BD  — «Вот это но­во­год­нее чудо!»  — вос­клик­нул он. Эта бис­сек­три­са пе­ре­сек­ла сто­ро­ну BC в точке L.

а)  Дед Мороз про­сит Вас по­мочь ему до­ка­зать, что BL : LC  =  1 : 2. Под­сказ­ка от Сне­гу­роч­ки: «Ис­поль­зуй свой­ство бис­сек­три­сы и то, что в па­рал­ле­ло­грам­ме диа­го­на­ли де­лят­ся по­по­лам  — как ман­да­ри­ны на столе!»

б)  После до­ка­за­тель­ства Дед Мороз про­вел из­ме­ре­ния и ока­за­лось, что диа­го­наль BD  =  10, AL  =  8. Най­ди­те пло­щадь че­ты­рех­уголь­ни­ка DCLO, где O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей па­рал­ле­ло­грам­ма.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство имеет ровно одно или два ре­ше­ния.

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние:

имеет един­ствен­ный ко­рень.

В тур­ни­ре по фут­бо­лу на кубок Со­дру­же­ства участ­во­ва­ли 6 ко­манд из Рос­сии и 12 ко­манд из дру­гих стран СНГ. При по­бе­де в матче ко­ман­да по­лу­ча­ла 2 очка, в слу­чае ни­чьей 1 очко, при по­ра­же­нии 0 очков. После окон­ча­ния тур­ни­ра ока­за­лось, что все ко­ман­ды на­бра­ли раз­ное ко­ли­че­ство очков. При этом сумма очков рос­сий­ских ко­манд была равна сумме очков всех ко­манд из дру­гих стран.

а)  Могли ли все рос­сий­ские ко­ман­ды не про­иг­рать ни од­но­го матча с ко­ман­да­ми из дру­гих стран?

б)  Могли ли рос­сий­ские ко­ман­ды по­беж­дать во всех мат­чах с ко­ман­да­ми из дру­гих стран?

в)  Может ли в трой­ке при­зе­ров тур­ни­ра не быть ни одной рос­сий­ской ко­ман­ды?

В но­во­год­нюю ночь Дед Мороз и Баба Яга устро­и­ли ма­те­ма­ти­че­ское со­рев­но­ва­ние. Дед Мороз на­пи­сал на вол­шеб­ной доске число 8 (по ко­ли­че­ству своих оле­ней), а затем каж­дую ми­ну­ту до­пи­сы­вал новое число, ко­то­рое по­лу­ча­лось либо удво­е­ни­ем ка­ко­го-то из уже на­пи­сан­ных чисел, либо сло­же­ни­ем двух любых име­ю­щих­ся на доске чисел.

а)  Могло ли на доске по­явить­ся число 2028?

б)  Могла ли в какой-то мо­мент сумма всех чисел на доске рав­нять­ся 96?

в)  Через какое наи­мень­шее время (в ми­ну­тах) на доске могло по­явить­ся число 896?