Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 697008
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние  ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс синус 2x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 3x = 0.

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку  левая квад­рат­ная скоб­ка Пи ; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Рис. 1

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс синус 2x конец ар­гу­мен­та минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 3x = 0 рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 1 плюс синус 2x конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та ко­си­нус 3x рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний 1 плюс синус 2x = 2 ко­си­нус в квад­ра­те 3x, ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний синус 2x = ко­си­нус 6x, ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2x пра­вая круг­лая скоб­ка минус ко­си­нус 6x = 0, ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний минус 2 синус дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2x плюс 6x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус дробь: чис­ли­тель: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус 2x минус 6x, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = 0, ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний синус левая круг­лая скоб­ка 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка синус левая круг­лая скоб­ка 4x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = 0, ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но
 рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = Пи k, 4x минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = Пи k, конец си­сте­мы . ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Рис. 2

От­ме­тим корни по­лу­чен­ных серий и об­ласть до­пу­сти­мых зна­че­ний на еди­нич­ной окруж­но­сти. Оран­же­вым обо­зна­чим про­ме­жут­ки  ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0, зе­ле­ны­ми точ­ка­ми по­ка­жем корни серии (1), си­ни­ми  — корни серии (2) (см. рис. 1). Из ри­сун­ка по­лу­ча­ем, что

 си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , конец си­сте­мы . ко­си­нус 3x боль­ше или равно 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  От­бе­рем корни при по­мо­щи еди­нич­ной окруж­но­сти (см. рис. 2). Под­хо­дят числа  дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби  и  дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

 

Ответ: а)  левая фи­гур­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б)  дробь: чис­ли­тель: 21 Пи , зна­ме­на­тель: 16 конец дроби  и  дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 532