Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

а)  Ре­ши­те урав­не­ние 2 синус 2x минус синус x умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2\ctg x конец ар­гу­мен­та =1.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  За­ме­тим, что

x= си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та ,если x\geqslant0, минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та ,если x мень­ше 0, конец си­сте­мы .

по­это­му, внося синус x под знак корня, не­об­хо­ди­мо рас­смот­реть два слу­чая:

синус x ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x, зна­ме­на­тель: синус x конец дроби конец ар­гу­мен­та = си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 синус x ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та , синус x боль­ше 0, минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 синус x ко­си­нус x конец ар­гу­мен­та , синус x мень­ше 0 конец си­сте­мы . = си­сте­ма вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та , синус x боль­ше 0, минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та , синус x мень­ше 0. конец си­сте­мы .

В слу­чае синус x боль­ше 0 имеем:

2 синус 2x минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та минус 1=0 рав­но­силь­но рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та =1, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та = минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \underset ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та =1 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но синус 2x=1 рав­но­силь­но 2x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k рав­но­силь­но x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,k при­над­ле­жит Z .

Усло­вию синус x боль­ше 0 удо­вле­тво­ря­ет серия x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,k при­над­ле­жит Z .

В слу­чае синус x мень­ше 0 имеем:

2 синус 2x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та минус 1=0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та = минус 1, ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . \underset ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та боль­ше 0\mathop рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: синус 2x конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но синус 2x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 2x= арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k,2x= Пи минус арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k,x= дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

Усло­вию синус x мень­ше 0 удо­вле­тво­ря­ют серии x= Пи плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k и x= дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

б)  Отберём корни, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка , при по­мо­щи три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­сти (см. рис.). По­лу­чим дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; Пи плюс дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби арк­си­нус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 294
Классификатор алгебры: Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния, Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Пе­ре­бор слу­ча­ев, Све­де­ние к од­но­род­но­му, Фор­му­лы двой­но­го угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025