а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­ме ABCA₁B₁C₁ на бо­ко­вых реб­рах AA₁, BB₁ и CC₁ от­ме­че­ны точки K, M и L со­от­вет­ствен­но так, что AK : KA₁  =  B₁M : MB  =  2 : 1, а плос­кость KLM делит пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы по­по­лам.

а)  До­ка­жи­те, что L  — се­ре­ди­на CC₁.

б)  Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка KLM, если все ребра приз­мы равны 3.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

На каж­дом из двух ком­би­на­тов ра­бо­та­ют по 200 че­ло­век и из­го­тав­ли­ва­ют де­та­ли А и В. На пер­вом ком­би­на­те один че­ло­век из­го­тав­ли­ва­ет за смену 1 де­таль А или 3 де­та­ли В. На вто­ром ком­би­на­те для из­го­тов­ле­ния t де­та­лей (и А, и В) тре­бу­ет­ся t² че­ло­ве­ко-⁠смен. Оба ком­би­на­та по­став­ля­ют де­та­ли на завод, где со­би­ра­ют из­де­лие, для ко­то­ро­го нужна или одна де­таль А, или одна де­таль В. При этом ком­би­на­ты до­го­во­ри­лись между собой из­го­тав­ли­вать де­та­ли так, чтобы можно было со­брать наи­боль­шее число из­де­лий. Сколь­ко из­де­лий за смену при таких усло­ви­ях может со­брать завод?

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD к боль­шей бо­ко­вой сто­ро­не ВС по­стро­ен пер­пен­ди­ку­ляр, пе­ре­се­ка­ю­щий ВС и AD в точ­ках F и N со­от­вет­ствен­но. Окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка ABN про­хо­дит через T  — точку пе­ре­се­че­ния DF и NC, а окруж­ность, опи­сан­ная около тре­уголь­ни­ка DNC про­хо­дит через Р  — точку пе­ре­се­че­ния АТ и BN. Угол NAT равен 18°.

а)  До­ка­жи­те, что PF па­рал­лель­на AB.

б)  Най­ди­те PT, если

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при каж­дом из ко­то­рых не­ра­вен­ство вы­пол­ня­ет­ся при любых x.

На доске на­пи­са­ны три раз­лич­ных на­ту­раль­ных числа. Вто­рое число равно сумме цифр пер­во­го, а тре­тье равно сумме цифр вто­ро­го.

а)  Может ли сумма этих чисел быть равна 3456?

б)  Может ли сумма этих чисел быть равна 2345?

в)  В трой­ке чисел пер­вое число трёхзнач­ное, а тре­тье равно 5. Сколь­ко су­ще­ству­ет таких троек?