Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 544273
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус 2x плюс 3 синус x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: ко­си­нус x минус синус x конец ар­гу­мен­та = 0.

б)  Ука­жи­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Левая часть урав­не­ния об­ра­ща­ет­ся в нуль в двух слу­ча­ях. Если вто­рой мно­жи­тель равен нулю:

ко­си­нус x минус синус x = 0 рав­но­силь­но тан­генс x= 1 рав­но­силь­но x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z

или если пер­вый мно­жи­тель равен нулю, а вто­рой при этом опре­делён.

Решим урав­не­ние:

ко­си­нус 2x плюс 3 синус x минус 2 = 0 рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 1 минус 2 синус в квад­ра­те x пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 3 синус x минус 2 = 0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но 2 синус в квад­ра­те x минус 3 синус x плюс 1 = 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус x = 1, синус x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k , x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, x = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k, . конец со­во­куп­но­сти k при­над­ле­жит Z .

Решим не­ра­вен­ство:

ко­си­нус x минус синус x боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n мень­ше или равно x мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс 2 Пи n, n при­над­ле­жит Z .

Не­ра­вен­ству удо­вле­тво­ря­ют толь­ко корни серии дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k.

Объ­еди­няя два рас­смот­рен­ных слу­чая, за­клю­ча­ем, что ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния яв­ля­ют­ся x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k и x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k, k при­над­ле­жит Z .

 

б)  Для от­бо­ра кор­ней вос­поль­зу­ем­ся три­го­но­мет­ри­че­ской окруж­но­стью (см. рис.). На от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка 0; Пи пра­вая квад­рат­ная скоб­ка лежат корни дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби и дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби

 

Ответ: а) левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k; дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби плюс Пи k : k при­над­ле­жит Z пра­вая фи­гур­ная скоб­ка ; б) дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2
Источник: А. Ларин. Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 311. (Часть C)
Классификатор алгебры: Ир­ра­ци­о­наль­ные урав­не­ния, Об­ласть опре­де­ле­ния урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния и не­ра­вен­ства, Урав­не­ния сме­шан­но­го типа
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны, Све­де­ние к од­но­род­но­му, Фор­му­лы двой­но­го угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025