На сто­ро­не AC тре­уголь­ни­ка ABC от­ме­че­на точка E так, что AE  =  10, EC  =  6. Пло­щадь тре­уголь­ни­ка ABE равна 25. Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка BEC.

Кусок льда пред­став­ля­ет собой пра­виль­ную ше­сти­уголь­ную приз­му вы­со­той 18 см. Его пла­ни­ру­ют рас­пла­вить и вновь за­мо­ро­зить так, чтобы по­лу­чи­лась пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма, сто­ро­на ос­но­ва­ния ко­то­рой в 2 раза боль­ше сто­ро­ны ос­но­ва­ния ис­ход­ной. Чему будет равна её вы­со­та? Ответ дайте в сан­ти­мет­рах.

Иг­раль­ную кость бро­са­ют два раза. Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что вы­пав­шие зна­че­ния сов­па­да­ют. Ответ округ­ли­те до сотых.

Для под­твер­жде­ния скид­ки ма­га­зин от­прав­ля­ет по­ку­па­те­лю на те­ле­фон со­об­ще­ние с трёхзнач­ным кодом, ровно две из цифр ко­то­ро­го сов­па­да­ют. У Пети раз­ря­жен те­ле­фон. Ка­ко­ва ве­ро­ят­ность того, что он слу­чай­но уга­да­ет код? Ответ округ­ли­те до ты­сяч­ных.

Ре­ши­те урав­не­ние Если урав­не­ние имеет боль­ше од­но­го корня, в ответ за­пи­ши­те мень­ший из кор­ней.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния при a  =  8.

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик   — про­из­вод­ной функ­ции f(x), опре­делённой на ин­тер­ва­ле (−9; 3). Най­ди­те абс­цис­су точки гра­фи­ка y  =  f(x), в ко­то­рой ка­са­тель­ная к гра­фи­ку функ­ции па­рал­лель­на пря­мой y  =  x + 3 или сов­па­да­ет с ней.

Пло­щадь тре­уголь­ни­ка вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле где b и с  — две сто­ро­ны тре­уголь­ни­ка, а α  — угол между ними. Най­ди­те угол α в ост­ро­уголь­ном тре­уголь­ни­ке, для ко­то­ро­го c  =  4, а S  =  6. Ответ дайте в гра­ду­сах.

После сме­ше­ния двух рас­тво­ров, пер­вый из ко­то­рых со­дер­жал 150 г кис­ло­ты, а вто­рой со­дер­жал 60 г такой же кис­ло­ты, по­лу­чи­ли 400 г но­во­го рас­тво­ра. Най­ди­те кон­цен­тра­цию пер­во­го рас­тво­ра (в про­цен­тах), если из­вест­но, что она на 20 боль­ше кон­цен­тра­ции вто­ро­го (в про­цен­тах).

На ри­сун­ке изоб­ражён гра­фик функ­ции вида где a и b целые числа. Най­ди­те зна­че­ние f(8).

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

В ос­но­ва­нии пи­ра­ми­ды SABCD лежит па­рал­ле­ло­грамм ABCD. На бо­ко­вых рёбрах SA, SC и SD от­ме­че­ны точки K, L и M со­от­вет­ствен­но так, что SK : KA  =  SL : LC  =  2 : 1 и SM  =  MD.

а)  До­ка­жи­те, что плос­кость KML со­дер­жит точку B.

б)  Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды BAKMD, если пло­щадь па­рал­ле­ло­грам­ма ABCD равна 18, а вы­со­та пи­ра­ми­ды SABCD равна 7.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство

15 ян­ва­ря Алек­сей пла­ни­ру­ет взять кре­дит в банке на шесть ме­ся­цев в раз­ме­ре 1 млн руб­лей. Усло­вия его воз­вра­та сле­ду­ю­щие:

  — 1-го числа каж­до­го ме­ся­ца долг уве­ли­чи­ва­ет­ся на r про­цен­тов по срав­не­нию с кон­цом преды­ду­ще­го ме­ся­ца, где r  — целое число;

  — платёж дол­жен вно­сить­ся один раз в месяц, со 2-го по 14-е число каж­до­го ме­ся­ца;

  — 15-го числа каж­до­го ме­ся­ца раз­мер долга дол­жен со­от­вет­ство­вать долгу, ука­зан­но­му в таб­ли­це.

Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние r, при ко­то­ром общая сумма пла­те­жей боль­ше 1,4 млн руб­лей.

Се­ре­дин­ный пер­пен­ди­ку­ляр к сто­ро­не AB тре­уголь­ни­ка ABC переcекает сто­ро­ну AC в точке D. Окруж­ность с цен­тром O, впи­сан­ная в тре­уголь­ник ADB, ка­са­ет­ся от­рез­ка AD в точке P, а пря­мая OP пе­ре­се­ка­ет сто­ро­ну AB в точке K.

а)  До­ка­жи­те, что около четырёхуголь­ни­ка BDOK можно опи­сать окруж­ность.

б)  Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, опи­сан­ной около четырёхуголь­ни­ка BDOK, если AB  =  10, AC  =  9.

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых мно­же­ство ре­ше­ний не­ра­вен­ства

Бес­ко­неч­ная гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия b₁, b₂, ..., b_n, ... со­сто­ит из раз­лич­ных на­ту­раль­ных чисел. Пусть S₁  =  b₁ и S_n  =  b₁ + b₂ + ... + b_n при всех на­ту­раль­ных

а)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ко­то­рой ровно два числа де­лят­ся на 60?

б)  Су­ще­ству­ет ли такая про­грес­сия, среди чисел S₁, S₂, S₃, S₄ ко­то­рой ровно три числа де­лят­ся на 60?

в)  Какое наи­боль­шее ко­ли­че­ство чисел среди S₁, S₂, ..., S₁₂ может де­лить­ся на 60, если из­вест­но, что S₁ на 60 не де­лит­ся?