Тип 14 № 562187 
Стереометрическая задача. Круглые тела: цилиндр, конус, шар
i
Радиус основания конуса равен 12, а высота равна 5.
а) Постройте сечение конуса плоскостью, проходящей через вершину конуса и взаимно перпендикулярные образующие.
б) Найдите расстояние от плоскости сечения до центра основания конуса.
Решение. 
а) Введем обозначения, как показано на рисунке. В прямоугольном треугольнике SOA катет SO равен 5, а катет AO равен 12, следовательно, гипотенуза, являющаяся образующей конуса, равна 12. Образующие конуса равны, поэтому 
Пусть эти образующие взаимно перпендикулярны. Соединим точки А и В, в равнобедренном прямоугольном треугольнике SAB гипотенуза 
Поскольку полученная длина хорды АВ меньше диаметра окружности, точки требуемым образом выбрать можно (см. прим.), потому искомое сечение — равнобедренный треугольник SAB с основанием AB, равным 
и боковыми сторонами SA и SB, равными 13.
б) Пусть расстоянием от плоскости сечения до центра основания конуса является отрезок OK. Выразим объем пирамиды OSAB двумя способами:
Отсюда 
где 
Рассмотрим равнобедренный треугольник ABO. Пусть точка Н — середина основания АВ (см. рис.) Длины сторон AO и OB равны 12, длины отрезков AH и HB равны 
Медиана OH является высотой, поэтому, применяя теорему Пифагора к треугольнику OHA, находим:
Ответ: 
Примечание Дмитрия Гущина.
Заметим, что отсутствие этой проверки не позволяет считать решение обоснованным. Например, проведя аналогичные рассуждения для конуса радиусом основания 5 и высотой 12, найдем, что образующая и хорда основания также равны соответственно 13 и 
Но теперь хорда больше диаметра основания, а потому искомого сечения не существует. Предельным случаем является конус, в котором осевое сечение является прямоугольным треугольником, а высота конуса равна радиусу основания: если высота меньше радиуса, сечение построить можно, если больше — нельзя.
Спрятать критерииКритерии проверки:| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ответ:
