Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

Най­ди­те, при каких не­по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях a функ­ция f левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =ax в сте­пе­ни 4 плюс 4x в кубе минус 3x в квад­ра­те минус 5 на от­рез­ке [−2; 2] имеет две точки мак­си­му­ма.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: f в сте­пе­ни левая круг­лая скоб­ка \prime пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =4ax в кубе плюс 12x в квад­ра­те минус 6x. Не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы f' имела на от­рез­ке [−2; 2] два нуля, в ко­то­рых она ме­ня­ет знак с плюса на минус. При этом, если кор­ней ровно два, то в одном из них про­из­вод­ная знак не ме­ня­ет. Сле­до­ва­тель­но, кор­ней ровно три и ха­рак­те­ры смены знака в них че­ре­ду­ют­ся (с плюса на минус, с ми­ну­са на плюс и снова с плюса на минус). По­это­му все три корня долж­ны ле­жать на от­рез­ке [−2; 2]. Тогда

4ax в кубе плюс 12x в квад­ра­те минус 6x=0 рав­но­силь­но 2x левая круг­лая скоб­ка 2ax в квад­ра­те плюс 6x минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Сле­до­ва­тель­но, число x=0  — ко­рень, то есть те­перь не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но, чтобы два корня урав­не­ния 2ax в квад­ра­те плюс 6x минус 3 = 0 ле­жа­ли на от­рез­ке [−2; 2].

Учи­ты­вая, что гра­фи­ком функ­ции g левая круг­лая скоб­ка x пра­вая круг­лая скоб­ка =2ax в квад­ра­те плюс 6x минус 3  при a мень­ше 0 яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, не­об­хо­ди­мо и до­ста­точ­но вы­пол­не­ния си­сте­мы не­ра­венств:

си­сте­ма вы­ра­же­ний g левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0,g левая круг­лая скоб­ка минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 0, D боль­ше 0, x_верш при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 2; 2 пра­вая круг­лая скоб­ка , конец си­сте­мы .

то есть

си­сте­ма вы­ра­же­ний 8a плюс 12 минус 3 мень­ше или равно 0,8a минус 12 минус 3 мень­ше или равно 0,36 плюс 24a боль­ше 0, минус 2 мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 6, зна­ме­на­тель: конец дроби 4a мень­ше 2 конец си­сте­мы . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний a мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби ,a мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 15}8,a боль­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ,a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби конец си­сте­мы . рав­но­силь­но a мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: {, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , зна­ме­на­тель: 8 конец дроби .

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 8 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го толь­ко вклю­че­ни­ем/ис­клю­че­ни­ем точек a = −1,5 и/или a = −1,125.3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­щи­е­ся от ис­ко­мо­го толь­ко ис­клю­че­ни­ем a = 0, а также, может быть, вклю­че­ни­ем/ис­клю­че­ни­ем точек a = −1,5 и/или a = −1,125.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния.

2
Верно най­де­ны все три гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний a.1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 562145: 562152 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Функ­ции, за­ви­ся­щие от па­ра­мет­ра
Методы алгебры: Ис­поль­зо­ва­ние про­из­вод­ной для на­хож­де­ния наи­боль­ше­го и наи­мень­ше­го зна­че­ния, Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025