Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 562175
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус 3x синус 3x= ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 12x плюс дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

ко­си­нус 3x синус 3x= ко­си­нус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 12x плюс дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 6x = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 12x рав­но­силь­но
рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 6x = 12x плюс 2 Пи k,6x = Пи минус 12x плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ,x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби , конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Про­ве­рим корни на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ме­то­дом не­ра­венств:

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но минус 9 мень­ше или равно минус 4k мень­ше или равно минус 3 рав­но­силь­но k = 2; k = 1.

Под­ста­вив по­лу­чен­ные зна­че­ния k, по­лу­чим x = минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби и x = минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Сле­ду­ю­щий ко­рень:

минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби рав­но­силь­но минус 27 мень­ше или равно 2 плюс 4k мень­ше или равно минус 9 рав­но­силь­но минус 29 мень­ше или равно 4k мень­ше или равно минус 11;

По­лу­чим ряд k:

k = минус 3; k = минус 4; k = минус 5; k = минус 6; k = минус 7.

Под­ста­вим дан­ные зна­че­ния:

k = минус 3: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ;

k = минус 4: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 4 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ;

k= минус 5: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 9 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ;

k = минус 6: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ;

k = минус 7: дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 9 конец дроби = минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби .

 

Ответ:

а)   левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи k, зна­ме­на­тель: 9 конец дроби пра­вая фи­гур­ная скоб­ка где k при­над­ле­жит Z;

б)   минус дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 18 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 562175: 562186 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния вида f(x)=f(y), Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы для про­из­ве­де­ния функ­ций
Методы алгебры: Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025