Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 13 № 562186
i

а)  Ре­ши­те урав­не­ние ко­си­нус 2x синус 2x синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 8x минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

б)  Най­ди­те все корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Пре­об­ра­зу­ем ис­ход­ное урав­не­ние:

ко­си­нус 2x синус 2x синус дробь: чис­ли­тель: 2 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 8x минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби синус 4x умно­жить на дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ко­си­нус левая круг­лая скоб­ка 8x минус дробь: чис­ли­тель: 3 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка рав­но­силь­но
рав­но­силь­но ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 4x = минус синус 8x рав­но­силь­но 2 синус 4x ко­си­нус 4x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та синус 4x = 0;

По­лу­чит­ся си­сте­ма урав­не­ний вида:

со­во­куп­ность вы­ра­же­ний синус 4x = 0,2 ко­си­нус 4x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та = 0 конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний 4x = Пи k,4x = \pm дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 6 конец дроби плюс 2 Пи k конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний x = дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби k,x=\pm дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k, конец со­во­куп­но­сти . k при­над­ле­жит Z .

б)  Про­ве­рим корни урав­не­ния на от­рез­ке левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка :

дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 32 мень­ше или равно 3k мень­ше или равно 40;

По­лу­чим ряд k:

k = 11; k = 12; k = 13.

При k = 11: x = дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ;

При k = 12: x = дробь: чис­ли­тель: 12 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби = 3 Пи ;

При k = 13: x = дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби .

Про­ве­рим сле­ду­ю­щий ко­рень:

дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 64 мень­ше или равно 5 плюс 12k мень­ше или равно 80 рав­но­силь­но 59 мень­ше или равно 12k мень­ше или равно 75 рав­но­силь­но k = 5; k = 6.

При k = 5: x = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 65 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ;

При k = 6: x = дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс 3 Пи = дробь: чис­ли­тель: 77 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

Рас­смот­рим по­след­ний ко­рень:

дробь: чис­ли­тель: 8 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k мень­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 10 Пи , зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 64 мень­ше или равно минус 5 плюс 12k мень­ше или равно 80 рав­но­силь­но 69 мень­ше или равно 12k мень­ше или равно 85 рав­но­силь­но k = 6; k = 7.

Под­ста­вим k:

При k = 6: x = 3 Пи минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 67 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ;

При k = 7: x = дробь: чис­ли­тель: 7 Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 79 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

 

Ответ:

а)   левая фи­гур­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби k, дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k, минус дробь: чис­ли­тель: 5 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби k, пра­вая фи­гур­ная скоб­ка где k при­над­ле­жит Z;

б)   дробь: чис­ли­тель: 65 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 11 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 67 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; 3 Пи ; дробь: чис­ли­тель: 77 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 13 Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 79 Пи , зна­ме­на­тель: 24 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих пунк­тах.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те а),

ИЛИ

по­лу­че­ны не­вер­ные от­ве­ты из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния пунк­та а) и пунк­та б).

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл2

Аналоги к заданию № 562175: 562186 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Срав­не­ние чисел, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния, ре­ша­е­мые раз­ло­же­ни­ем на мно­жи­те­ли, Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния вида f(x)=f(y), Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы для про­из­ве­де­ния функ­ций
Методы алгебры: Фор­му­лы двой­но­го угла, Фор­му­лы при­ве­де­ния, Три­го­но­мет­ри­че­ские фор­му­лы суммы и раз­но­сти ар­гу­мен­тов
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.1.4 Три­го­но­мет­ри­че­ские урав­не­ния
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025