В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 
На ребрах AB и SB отмечены точки M и K соответственно, причем AM = 4, SK : KB = 1 : 3.
а) Докажите, что плоскость CKM перпендикулярна плоскости ABC.
б) Найдите объём пирамиды BCKM.
а) Пусть точка N — середина стороны AC, точка О — центр основания. Тогда: отрезок NB — медиана основания, 
Через точку K проведем прямую KH параллельно высоте пирамиды SO. Прямая KH перпендикулярен плоскости ABC и, значит, лежащей в ней прямой прямой NB. Треугольники SOB и KHB подобны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, 
откуда
Тогда точка H — середина стороны BN.
Рассмотрим треугольник BAN. Заметим, что
значит, по обратной теореме Менелая, точки M, H и C лежат на одной прямой. Следовательно, тогда плоскость KMC проходит через прямую KH, перпендикулярную плоскости ABC, а потому плоскости KMC и ABC перпендикулярны.
б) Запишем формулу для объема пирамиды BKCM:
Треугольник SOB прямоугольный, по теореме Пифагора находим:
Тогда
Ответ: б) 