Сторона квадрата на 3 см длиннее ширины прямоугольника, площади этих фигур равны, а все длины сторон — целые числа.
а) Может ли ширина прямоугольника быть равной 8?
б) Может ли длина прямоугольника быть равной 16?
в) Найдите все возможные варианты таких пар прямоугольников и квадратов. В ответе укажите длины их сторон.
Пусть сторона квадрата равна a, тогда ширина прямоугольника равна a − 3, а длина его равна 
а) Если a − 3 = 8, то 
— нецелое число.
б) Решая уравнение 
найдем подходящее a = 4 или a = 12.
в) Поскольку 
должно быть целым, 9 должно делиться на a − 3, причем a − 3 должно быть положительным (это ширина прямоугольника). Значит, a − 3 = 1, 3, 9, то есть a = 4, 6, 12. Получаем такие варианты:
квадрат 4 × 4 и прямоугольник 1 × 16;
квадрат 6 × 6 и прямоугольник 3 × 12;
квадрат 12 × 12 и прямоугольник 9 × 16.
Ответ: а) нет; б) да; в) 9 × 16 и 12 × 12; 3 × 12 и 6 × 6; 1 × 16 и 4 × 4.