Числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16 произвольно делят на три группы так, чтобы в каждой группе было хотя бы одно число. Затем вычисляют значение среднего арифметического чисел в каждой из групп (для группы из единственного числа среднее арифметическое равно этому числу).
а) Могут ли быть одинаковыми два из трех значений средних арифметических в группах из разного количества чисел?
б) Могут ли быть одинаковыми все три значения средних арифметических?
в) Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из получаемых трёх средних арифметических.
а) Пусть группы будут, например, такими: 1) 2; 2) 1, 3; 3) 4, 5, 6, 7, 8, 9, 16. Тогда среднее арифметическое в первых двух группах равно 2.
б) Пусть среднее арифметическое в каждой группе равно 
Тогда сумма всех чисел равна количеству чисел, умноженному на x, значит, 
Таким образом, среднее арифметическое в каждой группе равно 
но это значит, что количество чисел в каждой группе не меньше 10, но этого не может быть.
в) Среднее арифметическое всех данных чисел равно 
В пункте б) мы выяснили, что при разбиении чисел на три группы такое среднее в группах получить невозможно. Ясно, что возможные средние это рациональные числа со знаменателем меньшим или равным количеству чисел в группе. Максимальное количество чисел в одной группе равно 8, поэтому среднее арифметическое 
получить тоже нельзя. Покажем, что среднее 
тоже не получится. Действительно, если группа состоит из 8 чисел со средним 
то сумма чисел в этой группе равна 49. Тогда сумма двух оставшихся чисел равна 12. Это могут быть пары чисел 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7. Все они не подходят, одно из средних будет больше, чем 
Приведем теперь пример для наибольшего из средних равного 
Разобьем наши числа на такие три группы: 1) 6; 2) 5, 7; 3) 1, 2, 3, 4, 8, 9, 16. Их средние арифметические будут равны соответственно 6, 6,
Ответ: а) да; б) нет; в)
Приведём другое решение.
а) да, например при разбиении (2, 8), (1, 3, 7, 9), (4, 5, 6, 16) средние в первых двух группах будут равны.
б) Если бы так было, то это среднее было бы равно общему среднему всех чисел, то есть что невозможно (знаменатель дроби был бы меньше 10, ведь в каждой группе не более 8 чисел и еще она возможно сократилась бы).
в) В одной из групп среднее должно быть больше общего среднего всех чисел, равного 
и при этом записываться дробью со знаменателем не большим 8. Наименьшее такое число равно 
Но если составить группу из 8 чисел с суммой 49, то сумма двух оставшихся будет равна 12 и их нельзя будет разбить на две группы по одному числу с суммами меньшими 7. Следующее число равно 
Это значение достигается, например, для разбиения (6), (5, 7), (1, 2, 3, 4, 8, 9, 16).