Отрезок, соединяющий середины M и N оснований соответственно BC и AD трапеции ABCD, разбивает её на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность.
а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная.
б) Известно, что радиус этих окружностей равен 4, а меньшее основание BC исходной трапеции равно 14. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной в неё окружности.
а) Так как четырехугольники ABMN и MCDN можно вписать в окружность, суммы длин их противоположных сторон равны:
и
так как точки M и N — середины оснований, длины BM и MC, AN и ND равны, а значит, 
откуда 
Таким образом, трапеция ABCD равнобедренная.
б) Рассмотрим треугольники BKO и BOL, находим:
откуда BO = 5. Из прямоугольных треугольников AOL и AOB получим систему уравнений:
решая которую, найдем 
Покажем связь между углами BAD и OAH и найдем PP1:
Теперь найдем радиус окружности:
Ответ: 1.
Примечание Валентина Евстафьева (Санкт-Петербург).
После того, как найдены 
и 
можно воспользоваться следующими соображениями. Обозначим точки Q и S, как показано на рисунке. Из подобия заключаем, что отношение расстояний от вершины угла до первой и второй точек пересечения биссектрисы со вписанной в угол окружностью есть величина постоянная для данного угла. Тогда: 
а потому 
Следовательно,
откуда QP = 2, а это диаметр маленькой окружности. Значит, ее радиус