Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 562212
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра a, при ко­то­ром си­сте­ма урав­не­ний

си­сте­ма вы­ра­же­ний новая стро­ка дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка y минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка y плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус 10 левая круг­лая скоб­ка x плюс 7,5 пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те плюс 5 пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: x в квад­ра­те минус 1 конец ар­гу­мен­та конец дроби =0, новая стро­ка y=ax плюс a минус 1. конец си­сте­мы .

имеет одно ре­ше­ние.
Спрятать решение

Ре­ше­ние.

По­стро­им гра­фик пер­во­го урав­не­ния си­сте­мы. Оно опре­де­ле­но, если x в квад­ра­те минус 1 боль­ше 0 и од­но­вре­мен­но 10 минус x в квад­ра­те боль­ше или равно 0, то есть на мно­же­стве левая квад­рат­ная скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . При таких зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной дробь равна нулю, если один из мно­жи­те­лей, сто­я­щих в чис­ли­те­ле, равен нулю. Тем самым по­лу­ча­ем:

си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та ,x в квад­ра­те плюс 10x плюс 25 плюс y в квад­ра­те плюс 10y плюс 25 минус 10x минус 75 плюс x в квад­ра­те минус y в квад­ра­те плюс 5=0, конец си­сте­мы . x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка конец со­во­куп­но­сти . рав­но­силь­но си­сте­ма вы­ра­же­ний со­во­куп­ность вы­ра­же­ний y= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус x в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , \quad левая круг­лая скоб­ка 1 пра­вая круг­лая скоб­ка y=2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби x в квад­ра­те , \quad левая круг­лая скоб­ка 2 пра­вая круг­лая скоб­ка конец си­сте­мы . x при­над­ле­жит левая квад­рат­ная скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 1; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та пра­вая квад­рат­ная скоб­ка . конец со­во­куп­но­сти .

Гра­фик функ­ции (1)  — верх­няя по­лу­окруж­ность с цен­тром в точке (0; 0) и ра­ди­у­сом ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та . Гра­фик функ­ции (2)  — па­ра­бо­ла с вер­ши­ной в точке (0; 2), име­ю­щая нули в точ­ках \pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

Вто­рое урав­не­ние си­сте­мы за­пи­шем в виде y = a левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, его гра­фи­ком яв­ля­ют­ся мно­же­ство пря­мых, про­хо­дя­щих через точку (−1; −1).

Обо­зна­чим точки, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Ис­ход­ная си­сте­ма имеет един­ствен­ное ре­ше­ние, если гра­фи­ки ее пер­во­го и вто­ро­го урав­не­ний имеют ровно одну общую точку. Это воз­мож­но, если за­да­ва­е­мая вто­рым урав­не­ни­ем пря­мая про­хо­дит: а) через точку A, б) через точку B, в) так, что часть пря­мой, ле­жа­щая спра­ва от точки P, рас­по­ло­же­на ниже пря­мой PC, но не ниже пря­мой PD (на ри­сун­ке гра­фик пер­во­го урав­не­ния вы­де­лен цве­том жи­мо­ло­сти, под­хо­дя­щие гра­фи­ки вто­ро­го урав­не­ния вы­де­ле­ны апель­си­но­вым).

Най­дем, при каких зна­че­ни­ях па­ра­мет­ра, пря­мая y = a левая круг­лая скоб­ка x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1 про­хо­дит через:

1)  точку A, тогда: 0=a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, от­ку­да a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;

2)  точку B, тогда: 0=a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, от­ку­да a= дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби ;

3)  точку C, тогда: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 минус 1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, от­ку­да a=2;

4)  точку D, тогда: 2 минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби умно­жить на 1 в квад­ра­те =a умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 1 плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка минус 1, от­ку­да a= дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: дробь: чис­ли­тель: 7, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно a мень­ше 2, a = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 1\pm ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го толь­ко вклю­че­ни­ем точки a = −2.3
Верно рас­смот­рен хотя бы один из слу­ча­ев ре­ше­ния, и по­лу­че­но или мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­щи­е­ся от ис­ко­мо­го толь­ко вклю­че­ни­ем точек a = 8, a = 3 и/или a = −2, или мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­щи­е­ся от ис­ко­мо­го толь­ко вклю­че­ни­ем точек a = 0, i > = −1 и/или i > = −2.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния

2
За­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния па­ра­бо­лы и лучей (ана­ли­ти­че­ски или гра­фи­че­ски).1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0

Аналоги к заданию № 562194: 562212 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Си­сте­мы с па­ра­мет­ром, Урав­не­ние окруж­но­сти
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025