В четырёхугольнике ABCD противоположные стороны не параллельны. Диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O под прямым углом и образуют четыре подобных треугольника, у каждого из которых одна из вершин — точка O.
а) Докажите, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность.
б) Найдите радиус вписанной окружности, если AC = 10, BD = 26.
а) Рассмотрим треугольники ABO и COD: углы ABD и BDC при секущей BD не равны. Тогда, так как треугольники ABO и COD подобны, углы ABO и DCO, а также BAO и CDO равны. Аналогично для треугольников AOD и BDC. Сумма углов ABO и OBC не равна 90°, следовательно, конфигурацию можно представить приведенным рисунком. Заметим, что 
cледовательно, вокруг четырехугольника ABCD можно описать окружность.
б) Пусть 
тогда: 
Из этого следует, что стороны AO и OC равны: 
Пусть 
тогда 
при 
Тогда
С учетом симметрии можно выбрать любое из найденных значений x. Пусть длина OB равна 1, длина OD равна 25, тогда
Найдем полупериметр четырехугольника ABCD:
Найдем площадь четырехугольника ABCD:
Вычислим искомый радиус:
Осталось отметить, что диагональ АС может является другой диагональю дельтоида и биссектрисой его углов. В этом случае аналогичное приведенному выше квадратное уравнение имеет вид 
и не имеет корней. Следовательно, такая конфигураций невозможна.
Ответ: 