Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 562242
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние дробь: чис­ли­тель: ко­си­нус x плюс a синус x, зна­ме­на­тель: синус x плюс ко­си­нус x конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 минус a конец дроби имеет хотя бы одно ре­ше­ние на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что урав­не­ние опре­де­ле­но при любых зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной из за­дан­но­го от­рез­ка и что a не равно 2. Ис­поль­зу­ем свой­ство про­пор­ции:

2 ко­си­нус x минус a ко­си­нус x плюс 2a синус x минус a в квад­ра­те синус x = синус x плюс ко­си­нус x рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те синус x=0 рав­но­силь­но

рав­но­силь­но левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка ко­си­нус x минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка синус x пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a=1, ко­си­нус x минус левая круг­лая скоб­ка 1 минус a пра­вая круг­лая скоб­ка синус x=0 конец со­во­куп­но­сти . .

При a=1 ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся весь ин­тер­вал левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка . Вто­рое урав­не­ние раз­де­лим на синус x, по­лу­чим урав­не­ние \ctg x=1 минус a. На ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка ко­тан­генс при­ни­ма­ет все зна­че­ния из ин­тер­ва­ла левая круг­лая скоб­ка минус 1; 0 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му урав­не­ние \ctg x=1 минус a имеет ре­ше­ния на ин­тер­ва­ле левая круг­лая скоб­ка минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; минус дробь: чис­ли­тель: Пи , зна­ме­на­тель: 4 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка при

минус 1 мень­ше 1 минус a мень­ше 0 рав­но­силь­но 1 мень­ше a мень­ше 2.

Объ­еди­няя по­лу­чен­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, по­лу­ча­ем ответ.

 

Ответ: 1 мень­ше или равно a мень­ше 2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­но мно­же­ство зна­че­ний a, от­ли­ча­ю­ще­е­ся от ис­ко­мо­го ко­неч­ным чис­лом точек3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны все гра­нич­ные точки ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a2
Верно по­лу­че­на хотя бы одна гра­нич­ная точка ис­ко­мо­го мно­же­ства зна­че­ний a1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 519637: 562242 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев
Спрятать решение · Прототип задания · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025