Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип 18 № 562219
i

Най­ди­те все зна­че­ния a, при каж­дом из ко­то­рых линии y=a|3 минус x| плюс |a| минус 3 и y= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби огра­ни­чи­ва­ют мно­го­уголь­ник, пло­щадь ко­то­ро­го не менее  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

При a=0 линии па­рал­лель­ны и мно­го­уголь­ник не об­ра­зу­ют. Пусть a боль­ше 0. Тогда линии y=a|x минус 3| плюс a минус 3 и y= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби огра­ни­чи­ва­ют тре­уголь­ник (см. рис.), если ор­ди­на­та вер­ши­ны мо­ду­ля ниже го­ри­зон­таль­ной пря­мой, то есть если  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби боль­ше a минус 3, от­ку­да a < 4,5. Абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния линий да­ют­ся урав­не­ни­ем

a|x минус 3| плюс a минус 3= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но |x минус 3|= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

По­это­му пло­щадь тре­уголь­ни­ка равна

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a конец дроби минус дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби минус левая круг­лая скоб­ка a минус 3 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 9 минус 2a, зна­ме­на­тель: 3a конец дроби умно­жить на дробь: чис­ли­тель: 9 минус 2a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2a минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9a конец дроби .

Эта пло­щадь не долж­на быть мень­ше  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да по­лу­ча­ем:

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 2a минус 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9a конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 4a в квад­ра­те минус 36a плюс 81 боль­ше или равно 3a рав­но­силь­но 4a в квад­ра­те минус 39a плюс 81 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a мень­ше или равно 3,a боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

С уче­том усло­вия 0 мень­ше a мень­ше 4,5 по­лу­чим: 0 мень­ше a мень­ше или равно 3.

Пусть a мень­ше 0. Линии y=a|x минус 3| минус a минус 3 и y= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби огра­ни­чи­ва­ют тре­уголь­ник (см. рис.) при  дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби мень­ше минус a минус 3, то есть при a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби . Абс­цис­сы точек пе­ре­се­че­ния линий да­ют­ся урав­не­ни­ем

a|x минус 3| минус a минус 3= дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но |x минус 3|= дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби .

По­это­му пло­щадь по­лу­чен­но­го тре­уголь­ни­ка равна

 дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби умно­жить на 2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: a конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус a минус 3 минус дробь: чис­ли­тель: a, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка = минус дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4a плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: 9a конец дроби .

Эта пло­щадь долж­на быть не мень­ше  дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби , от­ку­да по­лу­ча­ем:

 дробь: чис­ли­тель: левая круг­лая скоб­ка 4a плюс 9 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те , зна­ме­на­тель: минус 9a конец дроби боль­ше или равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 3 конец дроби рав­но­силь­но 16a в квад­ра­те плюс 72a плюс 81 боль­ше или равно минус 3a рав­но­силь­но 16a в квад­ра­те плюс 75a плюс 81 боль­ше или равно 0 рав­но­силь­но со­во­куп­ность вы­ра­же­ний a \leqslant минус 3,a боль­ше или равно минус дробь: чис­ли­тель: 27, зна­ме­на­тель: 16 конец дроби . конец со­во­куп­но­сти .

С уче­том усло­вия a мень­ше минус дробь: чис­ли­тель: 9, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби по­лу­чим a мень­ше или равно минус 3.

 

Ответ:  левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; 3 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ4
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­че­ны вер­ные зна­че­ния па­ра­мет­ра, но до­пу­щен не­до­чет3
С по­мо­щью вер­но­го рас­суж­де­ния по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, при этом верно вы­пол­не­ны все шаги ре­ше­ния,

ИЛИ

в ре­ше­нии верно най­де­ны все гра­нич­ные точки мно­же­ства зна­че­ний па­ра­мет­ра, но не­вер­но опре­де­ле­ны про­ме­жут­ки зна­че­ний

2
В слу­чае ана­ли­ти­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к на­бо­ру ре­шен­ных урав­не­ний и не­ра­венств с уче­том тре­бу­е­мых огра­ни­че­ний,

ИЛИ

в слу­чае гра­фи­че­ско­го ре­ше­ния: за­да­ча верно све­де­на к ис­сле­до­ва­нию вза­им­но­го рас­по­ло­же­ния линий (изоб­ра­же­ны не­об­хо­ди­мые фи­гу­ры, учте­ны огра­ни­че­ния, ука­за­на связь ис­ход­ной за­да­чи с по­стро­ен­ны­ми фи­гу­ра­ми)

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 562219: 562217 Все

Источник: Из­бран­ные за­да­ния по ма­те­ма­ти­ке из по­след­них сбор­ни­ков ФИПИ
Классификатор алгебры: Ком­би­на­ция пря­мых, Урав­не­ния с па­ра­мет­ром
Методы алгебры: Пе­ре­бор слу­ча­ев